正則性公理

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正則性公理(せいそくせいこうり、Axiom of regularity) は別名基礎の公理(きそのこうりAxiom of foundation) とも呼ばれ、選択公理と同様、様々な同値命題が存在する公理。ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年ジョン・フォン・ノイマンによって導入された。

定義[編集]

空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。 {\forall}(A{\neq}{\varnothing}{\to}{\exists}x{\in}t{\in}A{\forall}A(t{\notin}x)) 以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。

  • 任意の空でない集合xに対して、 \exists{y}{\in}x,x{\cap}y=0
  • ∀xについて、∈がx上well-founded
  • ∀xについて、無限下降列である

x{\ni }x_1{\ni }x_2{\ni }... は存在しない。

  • V=WF

ここで、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。したがって、例えばx={x}のような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。 WFは通常の集合演算に関して閉じているため、ZF公理系から得られる全ての真なる命題がZF公理系においても真となることが分かる。このため、WF内で通常の数学を展開できることが知られている。実際、x={x}のような集合の存在はZF公理系からは独立だが、数学を展開する上でこのような集合が現れることはない。その一方で、正則性の公理は必ずしもZF公理系を拡張するために必要なものではないが、ZF公理系と他のいくつかの命題が独立であることを証明する際にその効果を発揮する。 ZF公理系内に限って話を進めると、各順序数aに対してR(α)を次のように定義する。

  1. R(0)=0
  2. R(\alpha+1)=P(R(\alpha))
  3. α が極限順序数のとき

R(\beta) =\bigcap_{\beta<\alpha}R(\beta) 簡単に言えば、R(α)は0に冪集合の演算をa回繰り返して得られる集合のことを指す。クラスWFはこれらを全て集めたものとして定義され、後に示すように、WFは全てのwell-founded集合からなる。

  • WF=\bigcap{R(\alpha):\alpha{\in}ON}

また、次が成り立つ。

  • 任意のα∈ON に対して、
  1. R(α)は推移的
  2. {\forall}\beta<\alpha,R(\beta){\subset}R(\alpha)

証明[編集]

超限帰納法によるa=0のときは明らか∀b<aに対して成り立っていると仮定する。a=b+1のとき、仮定よりR(β)は推移的であり、R(α)=P(R(β))も推移的になる。また、R(β)⊂P(R(β))=R(α).αが極限順序数のとき、仮定より∀β<αに対してR(β)は推移的であり推移的集合和集合が推移的になることにより R(\alpha)=\bigcap_{\beta<\alpha}R(\beta) も推移的になる。さらに {\forall}\beta<\alpha,R(\beta)\subset\bigcap_{\beta<\alpha}R(\xi)=R(\alpha) も同様。

WFの定義より、x∈WFのときx∈R(α)を満たす最小の順序数αは後続順序数になる。実際、αを極限順序数としてx∈R(α)及び∀β<α,x∉R(β) が成り立っているとすると、 x\notin\bigcap_{\beta<\alpha}R(\beta)=R(\alpha) となって矛盾する。 そこで、集合xのランクを次のように定義する。 x∈WFのとき、x∈R(β+1) を満たす最小のβを集合xのランクといい、rank(x)で表す。 よって、rank(x)=βならば \forall\alpha>\beta,x{\in}R(\alpha) が成り立ち、x∉R(β) かつx⊂R(β)となる。また、このランクの概念を用いてR(α)は次のように特徴付けられる。

  • \forall\alpha,R(\alpha)=\left\{x{\in}WF:rank(x)<\alpha\right\}

及び、

  • {\forall}x{\in}WF,rank(x)<\alpha\Leftrightarrow\exists\beta<\alpha,x{\in}R(\beta+1){\Leftrightarrow}x{\in}R(\alpha)

ランクを計算するときに次の補題を使う。 y∈WFのとき、 x{\in}y{\Rightarrow}x{\in}WF かつ rank(x)<rank(y) rank(y)={\sup}\left\{rank(x)+1:x{\in}y\right\} rank(y)=αとするとy∈R(α+1)=P(R(α))。 x∈yならばx∈R(α) = {x∈WF:rank(x)<α}だからrank(x)<α。

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]