対応 (数学)

数学における対応（たいおう、Correspondence）は、古い文献に頻繁に現れていた多価函数（多値写像）の概念を明確にしたものである。通常の意味の函数（写像）が定義集合の各元に値の集合の一つの元を値として割り当てるのに対して、多価函数は値の集合の複数の元を割り当てることが許されるのであった。対応の概念を考えるときには、これら複数の函数値を一つの集合（値の集合の部分集合）として割り当てる。言い換えれば、対応とは定義域の各元に終域の部分集合を割り当てる写像である。

定義[編集]

集合 $A$ から $B$ への（部分）対応とは、直積集合 $A \times B$ の部分集合 $G$ が与えられたとき、三つ組 $f = (A, B; G)$ のことをいう。このとき、

f\colon A\to B,\quad A{\stackrel {f}{{}\to {}}}B,\quad f\colon A\multimap B

などと表す。

A, B, G

はそれぞれ対応

f

の始域 (initial set, source)、終域、グラフ（英語版）と呼ばれる。グラフの各成分への射影

D(f)=\operatorname {dom} (f):=\operatorname {pr} _{l}(G)=\{a\in A\mid (a,\exists b)\in G\}

は

f

の定義域といい、

V(f)=\operatorname {ran} (f):=\operatorname {pr} _{r}(G)=\{b\in B\mid (\exists a,b)\in G\}

を

f

の像または値域と呼ぶ。

D (f) = A

であるとき、

f

は（左）全域的対応あるいは単に対応であるといい、

V (f) = B

であるとき

f

は全射あるいは右全域的対応という。左全域的かつ右全域的であるときに限って対応と呼ぶこともある^[1]。

対応 $f : A \to B$ が与えられたとき、 $dom(f)$ の元 $a$ に対して、 $B$ の部分集合（空集合であってもよい）

f(a):=\{b\in B\mid (a,b)\in G\}

は、対応

f

による

a

の像または値 (value) と呼ばれる。このとき、

G(f)=\{(a,b)\mid a\in A,\,b\in f(a)\}

は

f

のグラフ

G

に一致する。

対応と関係[編集]

詳細は「二項関係」を参照

対応 $f : A \to B$ が与えられているとき、 $A$ の元 $a$ と $B$ の元 $b$ に対して $a R f b \Leftrightarrow (a, b) \in G (f)$ と置いて得られる $R f$ は二項関係である。逆に二項関係 $R \subset A \times B$ が与えられたとき、 $a \in A$ に対して、 $f (a) = {b | a R b}$ を割り当てる対応 $f R : A \to B$ が定まる。

直積の部分集合をグラフとして定まるという意味では、対応は二項関係と同じ概念を表すものと考えることができるが、対応というときはある集合から別な集合へ元を写すというニュアンスが強い。例えば、対応 $f : A \to A$ に対して、 $a \in f (a)$ となるような $A$ の元 $a$ を対応 $f$ の不動点という。

対応によって、一つの元に（部分集合に属する）複数の元が割り当てられているとみなすと、多価函数に近いものと考えることもできるが、対応による像の濃度は元ごとに異なっていてもよいという点で多価函数とは異なる。

対応の相等[編集]

二つの対応 $f : A \to B$ と $g : C \to D$ が相等しい: $f = g$ とは、順序三つ組としての相当をいう。これは、始域、終域を共有し、始域の各元の像が常に等しいこと、すなわち集合として $A = C, B = D$ であって、なおかつどんな $a \in A (= C)$ に対しても、 $f (a) = g (a)$ を満たすことである。

なお、終域を重視しない立場もあり、その場合はグラフの相等 $G (f) = G (g)$ を以って対応の相等 $f = g$ と定める。 $f = g$ となるための必要十分条件は $dom(f) = dom(g)$ かつ $a \in dom(f)$ ならば $f (a) = g (a)$ を満たすことであり、また、 $(dom(f), ran(f), G (f))$ と $(dom(g), ran(g), G (g))$ が順序三つ組として相等であることである。

逆対応[編集]

「逆関係」および「逆写像」も参照

対応 $f : A \to B$ が与えられているとき、

G(g)=\{(b,a)\in B\times A\mid (a,b)\in G(f)\}

をグラフとする対応

g : B \to A

を

f

の逆対応と呼び、

f -1

で表す。

写像[編集]

詳細は「部分写像」および「写像」を参照

定義: 対応 $f = (A, B, G f)$ は、
「各元 $a \in A$ に対して $(a, b) \in G f$ となるような $b \in B$ が一つしかない（すなわち、 $A$ のどの元 $a$ についても $f (a)$ がただ一つの元からなる）」
という条件をみたすとき、部分写像（一意対応）という。特に $D (f) = A$ （全域的）なとき写像と呼ばれる。

対応 $f$ が（部分）写像であるとき、 $f (a) = {b}$ となることを $f (a) = b$ と略記して、この元 $b$ を $a$ の像と呼ぶ。

写像の言葉で言えば、集合 $A$ から集合 $B$ への対応 $φ$ とは、 $A$ から $B$ の冪集合 $𝒫(B)$ への写像、すなわち集合値写像

\varphi \colon A\to {\mathcal {P}}(B)

として理解できる。

参考文献[編集]

^ ProofWiki.

松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。ISBN 978-4000054249。

外部リンク[編集]

[FOOTNOTEProofWiki-1] ProofWiki.

[1]