逆関係

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数学における二項関係逆関係(ぎゃくかんけい、: inverse relation)は、関係(のグラフ)に属する順序対の成分を逆順にして得られる関係である。例えば、「~の子である」という関係の逆関係は「~の親である」という関係である。

定義[編集]

厳密に言えば、LX × YX から Y への関係とするとき、その逆関係 L−1

y L−1 xx L y

によって定まる関係をいう (Halmos 1975, p. 40)。これは

L^{-1} = \{(y, x) \in Y \times X \mid (x, y) \in L \}

とも書ける。逆関係 L−1 などと書く記法は逆写像の記法の流用である。写像はその多くが逆写像を持たないのに対し、関係は必ず逆関係を持つ。 ただし、このような記法を用いているにもかかわらず、逆関係は関係の合成の意味での逆元にはなっていない、つまり一般には

L \circ L^{-1} \neq \mathrm{id}

であることに注意しなければならない。

逆関係は反対関係 (converse relation) や(ダガー圏のよく知られた例として、転置行列と同様のものとして見て)転置関係 (transpose relation) とも呼ばれ、Lc, LT, L, L˘ などとも書かれる。

性質[編集]

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通常の順序関係(狭義の順序でも半順序でもよい)の逆関係は、反対順序で与えられる。例えば

 (\le)^{-1}= {\ge},\quad (<)^{-1}= {>}

などとなる(ここでの括弧は明確化のためのもので必ずしも必要ではない)。

写像の逆関係[編集]

写像が(写像として)可逆であるための必要十分条件は、写像の逆関係が再び写像となることである。このとき、逆関係が逆写像を与える。

写像 f: XY の逆関係 f−1: YX

\operatorname{graph}\, f^{-1} = \{(y, x) \mid y = f(x) \}

で定義される。これは必ずしも写像でなくてもよいが、f が単射であることを課さなければ f−1多価になってしまう。この条件は f−1部分写像であるためには十分であり、さらにこのとき f−1 が(全域)写像となるための必要十分条件が f全射(したがって全単射)となることであるのは明らかである。f全単射であるとき、f−1f逆写像と呼ばれる。

関連項目[編集]

参考文献[編集]