多値論理

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多値論理(たちろんり)とは、真理値の値を1(真)と0(偽)の2個だけでなく、多数の値を取るものとして考えられた「曖昧さを許容する」論理である。正確には真理値を{0,1}に限定せず、一般の集合を『真理値集合』として使用するものを多値論理という。

様々な「多値」[編集]

多値論理が考えられてきた背景としては『真』『偽』以外に『不明』というのもあってよいのではないかという発想があった。そこから出てくるのは3つの真理値を持つ体系であるが、3個というのはどうにも収まりが悪く、4つの真理値を持つ体系も研究された。更にはそこからの応用で、有限の整数個の真理値を持つ体系、無限個の真理値を持つ体系なども出てくる。無限個の真理値を持つ場合、真理値集合の取り方としては、自然数全体にするもの、実数全体にするもの、0から1までの間の実数にするものなどがある。

成果と評価[編集]

真偽値全体の束であるリンデンバウム代数としての研究が行われてきた。 なお、多値論理の一つであるウカシェヴィチの論理は、部分構造論理との関係で、最近よく研究されている。

ウカシェヴィチの論理では、真偽値として、0~1の値をとる。(1/n~(n-1)/nをとる(n+1)値論理、有理数、実数の値をとる無限値論理等のバリエーションがある。)

論理演算子→については、φの真偽値をa、ψの真偽値をbとした場合、 (φ → ψ)の真偽値をmax(1-a+b,1)で定義する。

自然数nについて、(φ →[n] ψ)を

(φ →[1] ψ) ⇔ (φ → ψ)

(φ →[i+1] ψ) ⇔ (φ → (φ →[i] ψ))

によって定義した場合、古典論理や直観主義論理ではどのnでも、真偽値は変わらないが、ウカシェヴィチの論理では真偽値はnに依存し、その値はmax((1-a)*n+b,1)となる。

特に、φが0,1以外の真偽値をとる場合、あるmが存在して、nがm以上の場合に(φ →[n] ψ)に真となる性質がある。

コンピュータとの関連[編集]

現在、一般に論理回路は二進法・二値論理を電子回路で実装している。これを、4値や8値にできれば、1本の信号線で、あるいはゲート1段でより多くの情報が扱えることから、高性能化の可能性として多値論理の導入が考えられる。しかし現状では、バイナリのコンピュータが十分に高性能であるため、そのようなハードウェアを作るよりもバイナリのコンピュータでシミュレーションしたほうが速くて安い、という状況にある。しかし一部実用化されるものも出てきていて、たとえば、最近のMLC(Multi Level Cell)のNAND型フラッシュメモリがある。

ファジィ論理は真理値集合を[0,1](0以上1以下の実数の集合)とする多値論理で、ファジィコンピュータはこれを実装している。

古典論理、直観主義論理との関連[編集]

古典論理は真理値集合を完備ブール代数(cBa - complete Boole algebra)とするものであり、特に真偽値を2値とする必要はない。また直観主義論理は真理値集合を完備ハイティング代数(cHa - complete Heyting algebra)とするもので、ある意味では多値論理の一種である(完備ブール代数は完備ハイティング代数の特別な場合である)。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]