ブール代数
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ブール代数（ブールだいすう）あるいはブール環（ブールかん）とは、ジョージ・ブールが19世紀中頃に考案した論理数学の代表的な概念。ブール束（束論#ブール束）ともいう。ブール代数の研究は代数的構造としての束の理論が築かれるひとつの契機ともなった。
論理回路の設計には必須の知識である。組み合わせ回路（論理回路#組み合わせ回路）はブール代数の式で表現できる。
[編集] 定義
ブール代数は集合 A と A 上の単項演算 ¬ ，二項演算 ∨，∧，A の特別な元 
，
からなり、以下の関係式をみたす。
- 冪等律：x ∧ x = x ∨ x = x 、
- 交換律：x ∧ y = y ∧ x 、x ∨ y = y ∨ x 、
- 結合律：(x ∧ y)∧ z = x ∧(y ∧ z) 、(x ∨ y)∨ z = x ∨(y ∨ z) 、
- 吸収律：(x ∧ y)∨ x = x 、(x ∨ y)∧ x = x 、
- 分配律：(x ∨ y)∧ z = (x ∧ z)∨(y ∧ z) 、(x ∧ y)∨ z = (x ∨ z)∧(y ∨ z) 、
- 補元律： x ∨ ¬x =
， x ∧ ¬ x = 
。
ブール代数がブール束と呼ばれることがあるのは、∨, ∧ について分配的な束となるからである。つまり定義の関係式 1. から 5. によって分配束の定義をみたす。束論#ブール束も参照。
二点集合 {0, 1} と、その上の論理演算からなるブール代数が典型例となる。このとき、論理否定を ¬ (not)、論理和を ∨ (or)、論理積を ∧ (and) に対応させればよい。この代数の上では排他的論理和 (xor) や否定論理積(nand)など応用上重要な演算子が ∧、 ∨、 ¬ の組み合わせで記述される(∧ または ∨ も ¬ と残りの1つの組み合わせで記述される。)。
[編集] 関連項目
[編集] 外部リンク
- （百科事典）「The Mathematics of Boolean Algebra」 - スタンフォード哲学百科事典にある「ブール代数」についての項目。（英語）
