ゼノンのパラドックス

ゼノンのパラドックスは、エレア派のゼノンの考えたパラドックスで、パルメニデスの「感覚は全て疑わしいものである」こと、特に「一があるのであって多があるのではない、多があるとすれば運動は不可能である」という学説をピタゴラス学派の多を主張する立場を批判して唱えたものであった。

今日、ゼノンのパラドックスと呼ばれるものは、アリストテレスの『自然学』とそのシンプリキウスによる注釈の中に8つ伝わっている。そのうちのいくつかは、本質的に同じ問題を取り扱ったものである。

パラドックスの概要

ゼノンの論証がパラドクシカルである所以は「それらが導く結論はいかにも非現実的であるにもかかわらず、結論を導く論証過程自体は正しそうに見える」点にある。つまり論証の前提の正しさを受け入れる者にとって、論証の結論を拒否するためには論証過程のどこに誤りが潜んでいるかを指摘する必要があるが、それは容易ではない。結果として後に多くの哲学者がこの課題に挑戦した。

ただしゼノンの意図としては、これらの論証によってその非現実的な結論を主張したかったわけではない。「世界が不可分な要素的な点やアトムからなる」という前提から「運動が不可能となる」という帰結を導き出すことで、運動が可能であるという現実との矛盾を示そうとした、一種の背理法である。その場合「運動自体を否定しよう」というつもりはそもそもゼノンにはなく「否定されるべきはむしろ、そのような非現実的な結論を導く際に前提としてはたらいていた考え方にある」というのがゼノンの考えであった。

以下、ゼノンが提示したとされるパラドックスのうち「運動のパラドックス」として今日知られる4つを掲げる。

二分法

地点Aから地点B₀へ移動するためには、まずAからの距離がAB₀間の距離の半分の地点B₁に到達しなければならない。さらにAからB₁へ移動するためには、Aからの距離がAB₁間の距離の半分の地点B₂に到達しなければならない。以下、同様に考えると、地点Aから地点B₀へ移動するには無限の点を通過しなければならず、そのためには無限の時間が必要である。よって、有限の時間で地点Aから地点B₀へ移動することは不可能である。

アキレスと亀

あるところにアキレスと亀がいて、2人は徒競走をすることとなった。しかしアキレスの方が足が速いのは明らかなので亀がハンディキャップをもらって、いくらか進んだ地点（地点Aとする）からスタートすることとなった。

スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる（地点B）。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない。

ゼノンのパラドックスの中でも最もよく知られたものの一つであり、多数の文献は彼の手に帰しているが、歴史家パボリノスの説によれば、この議論を創始したのはパルメニデスであるという。

その議論やキャラクターの面白さから、アキレスと亀という組み合わせは、この論自体とともに多くの作家に引用された。たとえば、ルイス・キャロルの『亀がアキレスに言ったこと』や、ダグラス・ホフスタッターの啓蒙書『ゲーデル、エッシャー、バッハ』に主役として登場する。

飛んでいる矢は止まっている

これは物体の運動に関するものである。矢が飛んでいる様子を考えよう。ある瞬間には、矢はある場所に位置している。僅かな時間だけに区切って見れば、矢はやはり少ししか移動しない。この時間をどんどん短くすれば、矢は動くだけの時間がないから、その瞬間だけは同じ場所に留まっているであろう。次の瞬間にも、同じ理由でやはりまた同じ場所に留まっているはずである。こうして矢は、どの瞬間にも同じ場所から動くことはできず、ずっと同じ場所に留まらなくてはならない。したがって飛んでいる矢は止まっている。

競技場

競技場において、一瞬の間に1単位の距離を移動することができる2台の馬車を考える。

　▲▲▲▲  観客席
　□□□□ 　馬車・・・移動方向は右（→）
　■■■■ 　馬車・・・移動方向は左（←）

それぞれの馬車が移動を開始し、次のように客席に対して1単位だけ移動したとする。

　▲▲▲▲ 
　　□□□□
■■■■

このとき、いずれかの馬車に対してもう一方の馬車がどれだけ移動したかを観察すると、2単位移動している。すなわち「馬車は一瞬のうちに1単位移動しようとすれば2単位移動しなければならない」ことになり、これは不可能である。したがって馬車の運動は不可能である。

数学的な解釈

アキレスの走行速度を v m/s、亀の歩行速度を rv m/s とし、亀はアキレスより L m 前方にいるとする（亀の歩行速度はアキレスの走行速度よりも小さいので、当然 0 < r < 1 である）。両者が同時にスタートして、アキレスが亀の出発点まで到達する時間は $\frac{L}{v}$ s である。その時亀はアキレスより $rv\times\frac{L}{v}=rL$ m 前方にいる。そしてアキレスがその位置まで到達するのはさらに $\frac{rL}{v}$ s 後であり、その時亀はさらに r²L m 前方に存在する。それを無限に繰り返していくと、アキレスが亀の位置まで到達する時間の合計は

$\frac{L}{v}+r^1\frac{L}{v}+r^2\frac{L}{v}+r^3\frac{L}{v}+\cdots$

となる。つまりこの加算が無限に続くならば、すなわち時間は無限に存在し、「いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない」という事になる。

だが実際には加算が無限であっても、時間は無限ではない。アキレスが亀の最初の位置に追いつき、その時点での亀の位置にアキレスが追いつき、さらにその時点での亀の位置にアキレスが追いつき…という事を n 回繰り返したと仮定すると、その時間は

$\frac{L}{v}+r^1\frac{L}{v}+r^2\frac{L}{v}+r^3\frac{L}{v}+\cdots+r^n\frac{L}{v}= \frac{(1-r^{n+1})\frac{L}{v}}{1-r}$

となる。ここで n が無限大であるとすると、r < 1 であるので r^{n + 1} は0となる。つまり

$\frac{L}{v}+r^1\frac{L}{v}+r^2\frac{L}{v}+r^3\frac{L}{v}+\cdots$

と無限に加算した場合の総和は $\frac{\frac{L}{v}}{1-r}$ s となる。

つまり、ゼノンの誤りは「無限の数字を加算した和は無限である」と無条件で解釈した事にある。実際には無限に数字を加算した場合においても、その総和が有限である場合がある。

ただし、数学において無限について厳密に取り扱えるようになるのは近世以降のことである。ゼノンの時代においては、数学において無限を扱えなかった。例えばピタゴラス学派が無理数を発見した時、√2=1.414213562373095048801688724209…は、1以上2以下という有限な区間に含まれるが、有限な区間にこれといった法則も無く（整数や分数では表せない）「無限に続く数が存在できるのは何故か？」という問いに対する答えを見つけられず、ピタゴラス学派では無理数を禁忌とした。

17世紀以降に発展した微分積分学、とくにその中の級数（無限級数）や極限の概念において、ようやく数学においても無限を扱えるようになった。この後世の数学を前提とするならば、アキレウスと亀の問題は「『考えをいくらでも続けられる』ことから『いつまでたっても追いつけない』という結論を導いている箇所に飛躍がある」と考えられる。

ただし級数や極限を用いた数学的な解釈も、ゼノンのパラドックスにおける前提を正確に反映しているかどうかは定かではない。有限を、無限の回数の加算の結果と「みなしうる」という独自の前提を定めて、アキレスのほうが亀よりも速い（級数が収束する）からアキレウスは亀に有限時間内に追いつけるとしているだけであり、ゼノンのパラドックスに対する反論に都合のよい前提を持ってきただけとも言えるため、数学における極限の概念を持ちだしただけではゼノンのパラドックスを解決したことにはならない。

もちろん逆にいえばゼノンのパラドックスは矛盾が生じるように都合のよい前提条件を置いただけということでもあり、それをもって現実世界が連続である（アトムは存在しない）と証明したことにはならない。単純にゼノンの設定した公理系が現実世界と合致していないという可能性もあるからだ。

数学上の概念によって説明される場合には、数や連続性や極限、無限の概念などにいくつかの仮定を用いているが「パラドックスの指している状況と数学モデルの置いている仮定が同一のことなのか」が哲学的な議論の対象になる。たとえば無限回の加法と自然言語で記述されていても、それが有限加法性のことなのか完全加法性のことなのかは自明ではない。数学的な解釈がゼノンのパラドックスについて示唆してくれることは「ゼノンのパラドックスがパラドックスでなくなるような視点が、ある数学モデルにより得られる」ことであり「その数学モデルはニュートン力学と親和性が高い」ことである。なお物理学では、現実世界（宇宙）においては時間空間の最小単位とも考えられるプランク単位の存在によってゼノンのパラドックスを回避することも考えられる。

哲学的な観点から

哲学的には、数学的な前提に立った場合のように、このパラドックスは「間違っている」とは見なされない。極限や収束をどう理解するかと、特に「仮に有限を無限の回数の加算の結果と『見なしうる』ということから、現にそうした無限個の『加算されたもの』から『構成されている』と言っていいかどうか」が、このパラドックスでは問題になる。

つまり確かにパラドックスの結論は不合理なもののように見えるが、それは「不連続な複数の単位から構成される連続という（原子論者の考えたような『多』の）立場を前提にすると不条理に陥る、ゆえにこの『多』という仮定が間違っており、連続は『一』が基底的な属性であって、より基底的な『多』から「一」が構成されているとはいえない」という背理法の論法なのである。

それが「無限に切り分けられる」ことと「無限に足し合わせられたものからなっている」ことは、一見同じことのように見えるが違う。そして現実の運動や連続について、前者は言えるが、後者はいえない。

「線を無限に分割して、無限にたくさんの点を見い出せる」ことから「線が無限にたくさんの点からなっている」とは言えない。ゼノンやエレア派的にいえば、無をいくら足しても有にはならない。有がある以上、どこかに有の起源が無ければならない。長さゼロの点から長さ一の線を作る事は出来ない。ゼロをいくら加算しても一にはならない。しかし線と線の交点として点を定義する事は出来る。

これは不動の矢のパラドックスにおいてより根本的に現れており、いわゆるこの動かない動く矢は、あくまでも運動の或る瞬間の概念的切片であって、現実に特定の瞬間に特定の位置を占めているそうした要素的断片が実在的に「存在」し、その加算として運動があるわけではない。連続がまずあって、それを切片に切って把握することができるのであって、要素的な断片がまずあって、それが合わさって連続が構成されているのではない。（ピュタゴラス派的「数字」や「点」の議論）運動という連続は「多」からなっているわけではない。

さらにいえば「パラパラマンガやアニメのようなものとして、現実の連続性を理解することはできない」ことが、このパラドックスの、そしてエレア派の問題にしていることなのである。

思想史

アリストテレスは「無限にあるものが現勢的でなく可能的にあるのだとすれば、それらを通過し尽くすことは可能である」としている。

レオナルド・ダ・ヴィンチは、「点とはありうるかぎりのものよりさらに小さいものであり、線はその点の運動によって作られる。線の極限は点である。次に面は線の運動から生れ、そしてその極限は線である。立体は(面積の)運動によって作られる。(そしてその極限は面である)（「手記」）」と語っている。

バールーフ・デ・スピノザは「持続が瞬間から成るとの主張は、悟性によって把握される不可分な無限の量、表象能力によって把握される可分的な有限の量の両者が区別されないことに基づく」と指摘している。

ゲオルク・ヴィルヘルム・フリードリヒ・ヘーゲルはゼノンの議論を認めた上で、そこから帰結するのは、運動が存在しないということでなく、運動は定有する矛盾であるということであるとしている。

アンリ・ベルクソンは、ゼノンの議論は時間や運動を空間に翻訳するものとした上で、運動そのものは持続であって分割不能であるとしている。

その他

量子力学では、放射性崩壊を起こす可能性のあるはずの不安定な原子核は、完全に連続した観測の下では崩壊を起こさない。このことは（ゼノンの議論と直接の関係はないものの）量子ゼノン効果と呼ばれている。

参考文献

中村秀吉(1980)『時間のパラドックス』（中公新書）

関連項目

• 亀がアキレスに言ったこと - 「ゼノンのパラドックス」を引き継いだルイス・キャロルによるパラドックス

外部リンク

• （百科事典）「Zeno's Paradoxes」 - スタンフォード哲学百科事典にある「ゼノンのパラドックス」についての項目。（英語）