ベリーのパラドックス

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ベリーのパラドックス(ベリーの逆説)はパラドックスのひとつ。

任意の文により、一意に「ある自然数」を定義することが可能である。例えば「100未満の最大の5の倍数」は「95」である。
ここで、「19文字以内で記述できない最小の自然数」という文を考える。自然数は可算無限に存在する一方で、日本語19文字で行える記述は有限通り(文字の種類の19乗)であるから、日本語19文字で表現できない自然数は必ず存在する。つまり、「19文字以内で記述できない最小の自然数」という文章は明確にある自然数を一意に定義している。
しかしながら、実際に「19文字以内で記述できない最小の自然数」を求めてみると、「19文字以内で記述できない最小の自然数」であるにも関わらず、「19文字以内で記述できない最小の自然数」という19文字で表現が可能であり、「19文字以内で記述できない最小の自然数」という定義に合致しない。

ZFCなどの公理系は、上記のような非形式的な定義の方法を許可しないことでこのパラドックスを回避している。

「自然言語によるの定義」から生まれるパラドックスは他にリシャールのパラドックスが存在し、混同・同一視されることもある[1]。矛盾を導くために実数を構成する必要がないぶんベリーのパラドックスの方が平易である。

脚注[編集]

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  1. ^ 吉永良正『ゲーデル・不完全性定理―"理性の限界"の発見』 講談社ブルーバックス ISBN 4061329472など