ブラリ＝フォルティのパラドックス

ブラリ＝フォルティのパラドックス(Burali-Forti paradox)とは、数学の集合論におけるパラドックスの一つであり、「全ての順序数の集合」という概念を素朴に導入すると矛盾が起こるという主張。即ちそのような存在を許す体系は自己矛盾していることを示す。

フォン・ノイマン順序数を用いた説明

矛盾の原因は、全ての順序数の集合$\Omega$が順序数としての性質を全て満たすが故に、それ自体がまた順序数と看做されねばならないことにある。従って、その後続順序数$\Omega + 1$を構成することができ、これは$\Omega$よりも厳密に大きい。ところが、定義によりこの順序数もまた$\Omega$の元でなければならない。ゆえに

$\Omega < \Omega + 1 \leq \Omega.$

より一般的な説明

上に挙げた説明は一種の時代錯誤を含んでいる。何故ならフォン・ノイマンに由来する順序数の定義を仮定しているからで、その中で個々の順序数は先行する全ての順序数の集合になっている。このような定義はブラリ＝フォルティがパラドックスを考案した当時はまだ知られていなかった。 なので仮定を減らした説明を書いてみよう。任意のモノに関する順序関係の一つ一つを無条件に「順序型」と呼ぼう(順序型とは順序数である)。この「順序型」(順序数)同士は自然に整列しており、そしてこの順序関係には順序型$\Omega$が含まれねばならない。素朴集合論(及びZFC、但し新基礎集合論(NF)は除く)においては、ある順序数$\alpha$よりも小さい全ての順序数の順序型は$\alpha$自身であることが容易に示される。従って$\Omega$よりも小さい全ての順序数の順序型は$\Omega$自身である。しかしこれでは、順序数の「より小さい一部」である$\Omega$は、全ての順序数の順序型よりも厳密に小さいことになる。ところが定義により後者は$\Omega$そのものである。これは馬鹿げている！

注意すべきこととして、順序数を全ての先行する順序数の集合であるとするフォン・ノイマンの定義を用いるならば、このパラドックスは回避できない。つまり、ある$\alpha$よりも小さな全ての順序数の順序型は$\alpha$自身になるという主張は真でなければならない。従ってフォン・ノイマン順序数の「集まり」は、ラッセルのパラドックスに出てくる「集まり」と同様に、古典論理による集合論における「集合」と看做すことはできない。しかしNFにおいては、順序型の集まり(順序関係と類似した同等のクラスとして定義される)は実際に集合であり、$\Omega$よりも小さな順序数の順序型は実は$\Omega$とは異なるという形でパラドックスを回避している。

ZFCにおけるパラドックスの解決

現代的な公理的集合論においては、無制限な包含を伴う集合、つまり「性質$P$を満たす全ての集合」というような集合の構成を単純に禁止することでこの矛盾を回避している。例えばゴットロープ・フレーゲの公理系ではこれはまだ禁止されていなかった。なお、NFでは些か異なった解決法が採られているので、そちらについては同項目を参照のこと。

歴史

ブラリ＝フォルティのパラドックスという名称は1897年にこれを発見したチェザーレ・ブラリ＝フォルティに由来する。但し異説があり、グレゴリー・チャイティンは本当の発見者はバートランド・ラッセルだと述べている。

関連項目

• カントールのパラドックス
• ラッセルのパラドックス
• リシャールのパラドックス