等比数列

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等比数列(とうひすうれつ、または幾何数列(きかすうれつ)、: geometric progression, geometric sequence)は、数列で、隣り合う二項のが項番号によらず一定であるようなものである。その比のことを公比(こうひ、: common ratio)といい、記号 r で表す。例えば 4,12,36,108,… という数列は初項(a で表す)が4であり公比 r が3の等比数列である。r は  r=\frac{a_{n+1}}{a_n} という形で表され、0以外の全ての数を取りうる(ただしr=1の場合は公差が0の等差数列として扱われる場合が多い)。等比数列は a と r を用いて各項を以下のように計算する。

a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3,\ ar^4,\ \ldots

n番目の項 an(一般項)は以下の式で求める。

a_n = a \ r^{n-1}

一般に第n項 an と第m項 am の関係は a_n = a_m \ r^{n-m} である。

数学的性質[編集]

等比数列を漸化式で表すと、

a1 = a, an+1 = r an (n≧1)

となる。公比が負の場合は符号が一項ずつ入れ替わる数列となる。例えば 3,-6,12,-24,… という数列は公比 -2 の等比数列であり、一般項は

a_n = 3 \cdot (-2)^{n-1} = (-1)^{n-1} \ 3 \cdot 2^{n-1}

となる。公比が正であれば全ての項は初項と同じ符号を持つ。

公比 r が r >1ならば等比数列は初項の符号によって正もしくは負の無限大発散する。
また -1< r < 1 の範囲にある場合は0に収束する。
r =-1 では a と -a の値のみを交互にとる(振動)。
r <-1 では発散する(正もしくは負の無限大に発散するということではない)。

形式的に等比数列の一般項の対数をとると

\ln \ {a_n} = \ln \ a +(n-1) \ \ln \ r

となり、数列{ln(an)}は初項 ln a 、公差d=ln r の等差数列の一般項になる。

等比数列の連続する3項を小さい順から a, b, c とすると、常に b^2 = ac \, が成り立つ[1]

等比級数(幾何級数)[編集]

等比級数は等比数列の項の総和のことをいい、初項から第n+1項までの和は以下の式で定義される。

\sum_{k=0}^{n} ar^k = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n ここで
\begin{align}(1-r)\sum_{k=0}^{n} r^k & = (1-r)(r^0+r^1+r^2+r^3+\cdots+r^n) \\
                                            & = (r^0+r^1+r^2+r^3+\cdots+r^n)-(r^1+r^2+r^3+r^4+\cdots+r^n+r^{n+1}) \\     & = 1-r^{n+1} \end{align}

であるので

\sum_{k=0}^{n} ar^k = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r} \quad (r \ne 1)

r =1では

\sum_{k=0}^{n} a = (n+1)a

である。第m+1項から第n+1項までの和は

\sum_{k=m}^n ar^k=\sum_{k=0}^n ar^k - \sum_{k=0}^{m-1} ar^k = \frac{a(r^m-r^{n+1})}{1-r}
1+1/2+1/4+1/8+… という幾何級数が2に収束することを幾何学的に示した図。2はa=1、r=1/2のときの a/(1-r) に等しい。

無限級数[編集]

初項から全ての項の和を無限級数という。-1< r < 1 すなわち |r| <1 ではn→∞の極限で以下の式で求められる値に収束する。

\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r} = \lim_{n\to\infty}\frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}} = \frac{a}{1-r}

a≠0かつ |r| ≧1ではこの級数は収束しない。

a=1の場合の式を r で微分すると

\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^\infty r^k = \sum_{k=0}^\infty kr^{k-1}=
\frac{1}{(1-r)^2}

となり、

\sum_{k=0}^{\infty} k r^k = \sum_{k=0}^{\infty} k r^{k-1} r = \frac{r}{\left(1-r\right)^2}

が導かれる。

脚注[編集]

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  1. ^ r>0のときb比例中項と呼ばれる。a:b=b:c=r

関連項目[編集]