コーシー・ビネの公式

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代数学におけるコーシー・ビネの公式 (こーしー・びねのこうしき、: Cauchy-Binet formula)、あるいは、コーシー・ビネの定理コーシー・ビネの展開とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネ英語版および オーギュスタン=ルイ・コーシーに由来する恒等式で、2つの行列の積から作られる正方行列行列式を、元の行列から取り出せる最大の小行列式の積の和で表せるというものであり[1]、行列の要素は実数複素数だけでなく可換環としても成立する。

定理[編集]

n自然数とし、集合 {1,...,n } を [n ] と表記する。 m を非負の整数として、Am ×n行列Bn ×m の行列とする。 S を [n ]の要素数m の部分集合とし、 ASAn 個のからS に含まれる添字のを取り出して得られたm ×m 行列、 BSBn 個のからS に含まれる添字のを取り出して得られたm ×m 行列とする。

m ×m 行列である積AB行列式


\det(AB) = \sum_{\scriptstyle S\subset[n]\atop\scriptstyle|S|=m} \det(A_S)\det(B^S)

で表せる。ただし、和において、S は{1,...,n } の要素数m の部分集合のすべてを取るとする。

要素を用いた記法[編集]


A \doteq 
\begin{pmatrix}
  a^{1}_{1} & \cdots & a^{1}_{m} & \cdots & a^{1}_{n}\\
  \vdots    & \ddots & \vdots    & \ddots & \vdots   \\
  a^{m}_{1} & \cdots & a^{m}_{m} & \cdots & a^{m}_{n}
\end{pmatrix}
, \quad
B \doteq 
\begin{pmatrix}
  b^{1}_{1} & \cdots & b^{1}_{m}\\
  \vdots    & \ddots & \vdots   \\
  b^{m}_{1} & \cdots & b^{m}_{m}\\
  \vdots    & \ddots & \vdots   \\
  b^{n}_{1} & \cdots & b^{n}_{m}
\end{pmatrix}

に対して、公式は


\begin{align}
\begin{vmatrix}
  \sum_{k=1}^{n}a^{1}_{k}b^{k}_{1} & \cdots & \sum_{k=1}^{n}a^{1}_{k}b^{k}_{m}\\
  \vdots                           & \ddots & \vdots                          \\
  \sum_{k=1}^{n}a^{m}_{k}b^{k}_{1} & \cdots & \sum_{k=1}^{n}a^{m}_{k}b^{k}_{m}
\end{vmatrix}
&=
\sum_{1\le k_1 < \cdots < k_m \le n}
\begin{vmatrix}
  a^{1}_{k_1} & \cdots & a^{1}_{k_m}\\
  \vdots      & \ddots & \vdots     \\
  a^{m}_{k_1} & \cdots & a^{m}_{k_m}
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
  b^{k_1}_{1} & \cdots & b^{k_1}_{m}\\
  \vdots      & \ddots & \vdots     \\
  b^{k_m}_{1} & \cdots & b^{k_m}_{m}
\end{vmatrix}
\end{align}

と表現できる。

小行列式を用いた記法[編集]

記法


B
\begin{pmatrix}
  k_1 & \cdots & k_m\\
  1   & \cdots & m 
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{vmatrix}
  b^{k_1}_{1} & \cdots & b^{k_1}_{m}\\
  \vdots      & \ddots & \vdots     \\
  b^{k_m}_{1} & \cdots & b^{k_m}_{m}
\end{vmatrix}

を使えば


(AB) \begin{pmatrix} 1   & \cdots & m   \\ 1   & \cdots & m   \end{pmatrix}
= \sum_{1\le k_1 < \cdots < k_m \le n} 
A    \begin{pmatrix} 1   & \cdots & m   \\ k_1 & \cdots & k_m \end{pmatrix}
B    \begin{pmatrix} k_1 & \cdots & k_m \\ 1   & \cdots & m   \end{pmatrix}

となる。

一般化されたクロネッカーのデルタとの関係[編集]


A \doteq \begin{pmatrix} 
  \delta^{i_1}_{1} & \cdots & \delta^{i_1}_{m} & \cdots & \delta^{i_1}_{n}\\
  \vdots           & \ddots & \vdots           & \ddots & \vdots          \\ 
  \delta^{i_m}_{1} & \cdots & \delta^{i_m}_{m} & \cdots & \delta^{i_m}_{n} 
\end{pmatrix}
, \quad 
B \doteq \begin{pmatrix} 
  \delta^{1}_{j_1} & \cdots & \delta^{1}_{j_m}\\ 
  \vdots           & \ddots & \vdots          \\ 
  \delta^{m}_{j_1} & \cdots & \delta^{m}_{j_m}\\ 
  \vdots           & \ddots & \vdots          \\ 
  \delta^{n}_{j_1} & \cdots & \delta^{n}_{j_m} 
\end{pmatrix}
  \quad (i_k \in [n], j_k \in [n] \mathrm{~for~} k \in [m])

を公式に代入し、n 次元 (m, m)型テンソルの一般化されたクロネッカーのデルタ

\begin{align}
\delta^{i_1 \cdots i_m}_{j_1 \cdots j_m}
&\equiv
\begin{vmatrix}
  \delta^{i_1}_{j_1} & \cdots & \delta^{i_1}_{j_1}\\
  \vdots             & \ddots & \vdots            \\
  \delta^{i_m}_{j_m} & \cdots & \delta^{i_m}_{j_m}
\end{vmatrix}
\end{align}

を使えば、

\begin{align}
\delta^{i_1 \cdots i_m}_{j_1 \cdots j_m}
&=
\sum_{1\le k_1 < \cdots < k_m \le n}
\delta^{i_1 \cdots i_m}_{k_1 \cdots k_m}
\delta^{k_1 \cdots k_m}_{j_1 \cdots j_m}
\quad (i_p \in [n], j_p \in [n] \mathrm{~for~} p \in [m])
\end{align}

が得られる。逆にこの式からコーシー・ビネの公式を導くこともできる。

これは

\begin{align}
\delta^{i}_{j}&=
\sum_{k=1}^{n}
\delta^{i}_{k}
\delta^{k}_{j}
\quad (i \in [n], j \in [n])
\end{align}

の一般化である。

特別な場合[編集]

m >n の場合 1≦k1< … <kmn となる整数の組 {ki (i=1,…,m )} は存在しないから、公式の右辺は0となり、よって、det(AB )=0 が得られる。実際、A,B階数はこの場合高々n だから、 m ×m 行列 AB の階数も高々n (<m )であるので、その行列式は0になる。

m =n のとき、AB はともに正方行列になる。 1≦k1< … <kmn となる整数の組 {ki (i=1,…,m )} は [n ] と等しいから、公式は


(AB) \begin{pmatrix} 1 & \cdots & m \\ 1 & \cdots & m \end{pmatrix}
=
A    \begin{pmatrix} 1 & \cdots & m \\ 1 & \cdots & n \end{pmatrix}
B    \begin{pmatrix} 1 & \cdots & n \\ 1 & \cdots & m \end{pmatrix}

すなわち det(AB )=det(A )det(B ) となる。

m = 0 のとき、 AB そして AB空行列 (ただし、n > 0 なら行列の型は異なる)。空行列の行列式は定義により1だから、公式は 1 = 1 を述べているに過ぎない。

m = 1 のとき、公式は \textstyle\det(\sum_{j=1}^nA_{1,j}B_{j,1})=\sum_{k=1}^n\det(A^{1}_{k})\det(B^{k}_{1}) となるが、1×1行列 A に対して det(A )=A だから、自明の式を述べているに過ぎない。

m = 2 のとき、非自明な公式を与える最小の m であり、そのときの公式


\begin{align}
\begin{vmatrix}
  \sum_{k=1}^{n}a^{1}_{k}b^{k}_{1} & \sum_{k=1}^{n}a^{1}_{k}b^{k}_{2}\\
  \sum_{k=1}^{n}a^{2}_{k}b^{k}_{1} & \sum_{k=1}^{n}a^{2}_{k}b^{k}_{2}
\end{vmatrix}
&=
\sum_{1\le k_1 < k_2 \le n}
\begin{vmatrix}
  a^{1}_{k_1}& a^{1}_{k_2}\\
  a^{2}_{k_1}& a^{2}_{k_2}
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
  b^{k_1}_{1}& b^{k_1}_{2}\\
  b^{k_2}_{1}& b^{k_2}_{2}
\end{vmatrix}
\end{align}

ビネ・コーシーの恒等式と呼ばれる。

出典[編集]

  1. ^ 伊理正夫・韓太舜 『線形代数 行列とその標準形』 教育出版〈新しい応用の数学16〉、1977年6月。ISBN 4-316-37670-5

参考文献[編集]