反復法 (数値計算)

数値計算分野における反復法(はんぷくほう、英: iterative method)とは、求根アルゴリズムの手法のうち、反復計算を使うもの。アルゴリズムが単純であるために古くから用いられている。

アルゴリズム

与えられた関数f についてf (x) = 0 を満たす値x を得ることを目的とする。反復法の一般的なアルゴリズムは以下のようになる：

1. 初期値x₀ ∈ Rⁿ を定める。i = 0 とおく。
2. 漸化式

   $x_{i+1}=g(x_i)$

   によりx_{i + 1} を求める。ここでg はf より決まる関数である。

3. 適当な判断基準

   $r(x_i, x_{i+1})\leq \epsilon \quad ( \epsilon > 0)$

   が成り立てば（このことを収束と表現する）停止し、x_i を解とする。そうでなければi → i + 1 とし、ステップ2へ戻る。通常、判断基準には

   $r(x_i, x_{i+1}) = |x_{i+1}- x_i|$

   などが採られる。

例

関数g の取り方によって種々の方法がある。

ニュートン法

関数f が適当に滑らかな関数ならば、f の零点を求めるための関数g を

$g(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}$

ととれば、これはニュートン法となる。これは収束する場合は2次の収束となる。

ハレー法

ハレー法では

$g(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)-\frac{f''(x)g(x)}{2f'(x)}}$

ととる。これは収束する場合は3次の収束となる。

その他

• 固有値問題に対する冪乗法
• 二分法
• ブレント法