固有多項式

線型代数学において、固有多項式（こゆうたこうしき、characteristic polynomial）あるいは特性多項式（とくせいたこうしき）とは、正方行列に付随して得られるある多項式を指し、その行列の固有値、行列式、トレースといった重要な量を内包している。またグラフの固有多項式とは、グラフの隣接行列の固有多項式のことを指す。この多項式はグラフの不変量となっている。すなわち同型なグラフは同じ固有多項式を持つ。

動機 [編集]

正方行列Aに対し、根がAの固有値を過不足なく与えるような多項式を見つけることを考える。

もしAが対角行列ならこのような多項式を見つけることは簡単にできる。Aの対角成分をa₁,a₂,a₃,・・・とすれば、 $(t-a_1)(t-a_2)(t-a_3) \cdots$ が求める多項式になる。なぜなら対角行列の固有値は、対角成分に他ならないからである。

一般の行列Aに対しては次のような方法で考える。あるスカラーλがAの固有値であるための必要十分条件は、Av=λvを満たすv $\neq$ 0が存在することである。このvをAの固有ベクトルという。条件Av=λvは、

$(\lambda I-A)v=0$

と同値である。（ここでIは恒等行列。）これをみたすv $\neq$ 0が存在するための必要十分条件は、λI-Aが非正則、すなわち行列式が0となることである。したがって、 $det(\lambda I-A)=0$ の解がAの固有値である。またこの行列式はλに関する多項式になっている。

定義 [編集]

Kを体とする。（例えば実数体や複素数体。）AはKの元を成分とする $n \times n$ 行列とする。 Aの固有多項式とは、

$p_A(t)=\text{det}(tI-A)$

で定義される多項式 $p_A(t)$ のことである。ここでIは $n \times n$ の恒等行列であり、行列式はtに関する有理関数体K(t)の中で考える。

（ $p_A(t)=\text{det}(A-tI)$ を定義とする場合もあるが、nが奇数のときに限り符号-1がつくだけなので本質的に違いはない。）

例 [編集]

次の行列Aの固有多項式を求める。

$A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1& 0 \end{pmatrix}.$

そのためには、

$t I-A = \begin{pmatrix} t-2&-1\\ 1&t \end{pmatrix}$

の行列式を計算すればよい。それは、

$(t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1.\,\!$

であり、これがAの固有多項式である。

性質 [編集]

固有多項式 $p_A(t)$ はモニック（すなわち最高次の係数が1）なn次多項式となる。
固有多項式の最も重要な性質は、動機の節で述べたように、その根がAの固有値を過不足なく与えることである。
固有多項式の定数項 $p_A(0)$ は、 $(-1)^n\det(A)$ となる。また、t^n-1の係数は $-\operatorname{tr}A$ である。

例えば $2\times 2$ 行列の場合には、その固有多項式は

t ² − tr(A)t + det(A)

と簡単に表すことができる。

また、 $3\times 3$ 行列の場合には、c₂を主小行列式(principal minor)の総和と定義することで、固有多項式

$t^3-{\operatorname{tr}}(A)t^2+c_2t-\det(A)$

と表すことができる。

奇数次の実数係数多項式は少なくともひとつ実根を持つことから、奇数次の実数係数行列は、少なくともひとつ実固有値を持つ。実根をもたない偶数次の多項式はたくさんあるが、代数学の基本定理によれば、複素数の範囲で、n次多項式は重複を込めてn個の根を持つ。実数係数多項式の実数でない根は共役との組で現れることから、実数係数行列の実固有値ではない固有値も共役複素数の組で現れることがわかる。
ケーリー・ハミルトンの定理：固有多項式においてtをAに置き換えて得られる行列 $p_A(A)$ は、零行列に等しい，すなわち