汎函数

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数学の特に函数解析変分法における汎函数(はんかんすう、: functional)は、ベクトル空間からその係数あるいは実数値函数の空間への写像のことを指して言う。言い換えると、ベクトルを入力引数とし、スカラーを返す函数である。よくある状況として、考えるベクトル空間が函数の空間のときには函数を入力の引数としてとるので、汎函数のことを「函数の函数」と考えることもある。変分法において汎函数の使用は、ある種の汎函数を最小化する函数を求めることから始まった。物理学への特別に重要な応用として、エネルギー汎函数英語版(energy functional)を最小とする形の状態を探すことがある。

例と導入[編集]

双対性[編集]

函数 f(x0) が与えられているとき、これを f を止めて x0f の引数と見た写像

x_0\mapsto f(x_0)

と理解することができるが、それと同時に x0 を止めて f が動くものと見た

f\mapsto f(x_0)

汎函数である。このとき x_0パラメータと理解することができる。

f線型空間からその係数体への線型写像ならば、上に挙げた二つの写像は互いに双対な線型写像となるので、函数解析においてはいずれも線型汎函数と呼ぶ。

定積分[編集]

定積分は汎函数の特殊なクラスを与える。例えば

f\mapsto I[f]=\int_{\Omega} H(f(x),f'(x),\ldots)\;\mu(dx)

の形の定積分は、H が実数値のとき、函数 f をある実数(積分値)へ写すので汎函数になっている。定積分が与える汎函数の例として

などを挙げることができる。

ベクトルのスカラー積[編集]

ベクトル空間 X の任意のベクトル \vec{x} に対し、他のベクトル \vec{y} とのスカラー積\vec{x}\cdot\vec{y} もしくは \langle \vec{x},\vec{y} \rangle と書く)はスカラーとなる。この積がゼロであるようなベクトルの集合は、X の部分空間となり、Xヌル空間とかとかと呼ばれる。

局所性と非局所性[編集]

汎函数の値が与えられたの曲線の小さな部分に対して計算可能で、足し合わせてトータルの値を見いだせる場合には、函数は局所的と呼ばれる。そうでない場合は、非局所的と呼ばれる。例えば、

F(y) = \int_{x_0}^{x_1}y(x)\;\mathrm{d}x

は局所的であることに対し、

F(y) = \frac{\int_{x_0}^{x_1}y(x)\;\mathrm{d}x}{\int_{x_0}^{x_1} (1+ [y(x)]^2)\;\mathrm{d}x}

は、非局所的である。質量中心の計算のような、積分が式の分子と分母で別れる場合には、一般にこのようなことが発生する。

汎函数の微分と積分[編集]

汎函数微分ラグランジュ力学で使われる。汎函数の微分は、函数が小さな量だけ変化するとき、どのように汎函数が変化するかという情報である。変分法を参照。

リチャード・ファインマン(Richard Feynman)は、量子力学経路積分の定式化の中で中心的なアイデアとして汎函数積分英語版を使った。これ使い方は、ある函数空間を渡る積分という意味を持っている。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

一般
引用