リウヴィルの定理 (物理学)

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ハミルトン力学におけるリウヴィルの定理: Liouville's theorem)とは、確率分布がどのように時間発展するかを予言する定理であり、フランスジョゼフ・リウヴィル(リュービル、リウヴィユ)によって発見された。

典型的に、τが位置と運動量座標を表すとして、ρは系が相空間の微小体積dτ中に見つかる確率である。τはN個の粒子の系において、変数の組を表すのに便利な簡潔的表現である。

\{\,x_1,x_2,\ldots,x_N,y_1,y_2,\ldots,y_N,z_1,z_2,\ldots,z_N;p_{x1},p_{x2},\ldots,p_{xN},\ldots,p_{zN}\,\}.

リウヴィルの定理によると、ハミルトニアン H と分布関数ρを持つ系で

\frac{\partial}{\partial t}\rho=-\{\,\rho ,H\,\}

が成り立つ。ここで中括弧はポアソン括弧を表す。これをリウヴィル方程式と呼ぶ。

この定理の結果で興味深いのは、時間発展に対して相空間中の体積が保存するということである。もし系が相空間で、ある体積を持って始まると分かっているとき、時間が経った後でも系は同じ体積を持つ部分空間にある。

シンプレクティック幾何学[編集]

シンプレクティック幾何学のことばでは、相空間はシンプレクティック多様体として表される。従って、定理はシンプレクティック多様体上の自然な体積形式はハミルトンフローの下に不変である。シンプレクティック構造は 2-形式として表され、 dpi と dqiウェッジ積の和として表される。体積形式はシンプレクティック形式の最高次数外積であり、まさに上記の相空間の測度の別の表現である。定理のひとつの定式化は、この体積形式のリー微分がすべてのハミルトンベクトル場に沿って 0 であることをいっている。

実際、シンプレクティック構造自身は、最高次数外積のみならず、それ以下の次数についても保存される。

量子リウヴィル方程式[編集]

正準量子化によってこの定理の量子力学版がもたらされ、密度行列の時間発展を記述する。正準量子化によりこの定理の量子力学版がもたらされる。この手続きは古典系から量子系の類似法則を作り出すのによく使われるが、そのためにはハミルトン力学を使って古典系を記述することが必要となる。古典力学的な変数は、量子力学的な演算子に解釈し直され、ポアソン括弧は交換子に置き換えられる。この場合の結果の量子化された方程式は、[1][2]

\frac{\partial}{\partial t}\rho=\frac{i}{\hbar}[\rho,H]

となる。ここでρは密度行列である。これを量子リウヴィル方程式(またはフォン・ノイマン方程式)と呼ぶ。

観測量期待値へ適用するとき、対応する方程式はエーレンフェストの定理により与えられ、次の形をとる。

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i \hbar}\langle [A,H] \rangle\ .

ここに A は観測量である。符号の違いは、作用素が定常的であり状態は時間依存するという前提からくることに注意する必要がある。

リウヴィルの定理は、統計力学の基礎としても重要である。粒子の衝突など、正準方程式に従わない場合はリウヴィルの定理はそのままでは成り立たず、これを記述するのがボルツマン方程式である。

参考文献[編集]

  1. ^ The theory of open quantum systems, by Breuer and Petruccione, p110.
  2. ^ Statistical mechanics, by Schwabl, p16.