量子状態

量子力学

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

不確定性原理

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量子状態（りょうしじょうたい、英: quantum state）とは、量子論で記述される系（量子系）がとる状態のことである。

定義

量子論では、全く同じように系を準備して、その系について全く同じように物理量（オブザーバブル）を測定しても、測定をする度に測定値が異なる。このことは、物理量が定まっている古典論とは明らかに異なる。よって古典論のように、物理量の値から状態を定義（規定）するということができない。

同じ状態を数多く用意して、物理量$A \$についての測定を数多く行えば、ある測定値$A_0 \$が出現する確率がある一定値に収束する。それをすべての測定値$A_0, A_1,\cdots \$について調べれば、どのように測定値がバラつくかを表す確率分布$P ( a ) \$が得られる。 実は量子論において定まっているのは物理量の測定値ではなく、この「物理量がどのようにバラつくかを表す確率分布」である。

よって量子論では、状態の定義もこの「測定値の確率分布」を使ってすればよい。量子論における状態とは「各物理量$A \$について、それを測定した時の測定値の確率分布${P(a)} \$をあたえるもの」である。

定式化

上記のような事情から、量子論における状態や物理量を数式で表現するためには、少し工夫が必要である。

しかし、正しい「物理量の測定値の確率分布${P(a)} \$」が得られるような方法ならば、どんなものであっても構わない。これまで定式化の方法として「演算子形式」や「経路積分形式」などが作られている。これらは見かけ上はずいぶん異なって見えるが、得られる物理量の測定値の確率分布${P(a)} \$は同じなので、どれも等価な理論である。

以下では、その中でも最も一般的な「演算子形式」での定式化の方法について述べる。

なお演算子形式の量子論では「複素ヒルベルト空間」と呼ばれる抽象的な空間を考えるが、その理由は「そうすればうまく自然を記述できたから」と言うほかない。もっと具体的なものを使って、正しい${P(a)} \$を求めることができる方法が存在するかもしれないが、これまでのところ見つかっていない。

純粋状態

量子的な状態には「純粋状態」と「混合状態」とがある。

純粋状態とは原理的に許される最大限のところまで状態を指定し尽くした状態である。

純粋状態は、あるヒルベルト空間$\mathcal{H}$の規格化された射線$e^{i\theta}|\psi\rangle$で表される。つまり、

$\langle\psi|\psi\rangle = 1$

を満たす。

ただし、$|\psi\rangle$と$e^{i\theta}|\psi\rangle$は同じ純粋状態を表す。このような$|\psi\rangle$を状態ベクトルという。

混合状態

混合状態とは、すべての物理量Aの測定値の確率分布P_ψ(a)が、純粋状態$|\psi_1\rangle$, $|\psi_2\rangle$, ..., $|\psi_k\rangle$, ...での物理量Aの測定値の確率分布P₁(a), P₂(a), ..., P_k(a), ...に、重みp₁, p₂, ..., p_k, ...をつけて平均したものとして表せるような状態のことである。

$P_\psi ( a ) \ = \sum_k p_k P_k ( a ) \ ( 0 < p_k < 1, \sum_k p_k \, = 1 )$

つまり、混合状態は、純粋状態$|\psi_1\rangle$, $|\psi_2\rangle$, ..., $|\psi_k\rangle$, ...が、それぞれ確率p₁, p₂, ..., p_k, ...で古典的に混ざり合った状態を表す（量子的な重ね合わせではない）。

密度演算子

混合状態において、k番目の状態が確率（重み）p_kで混ざっているとき、

$\hat{\rho} = \sum_k p_k | \psi_k \rangle \langle \psi_k |$

で定義される演算子$\hat{\rho}$を密度演算子と言う。密度行列$\mathbf{\rho}$は、密度演算子を行列表示したものである。

一般に、混合状態は状態ベクトルではなく、密度演算子$\hat{\rho}$を用いて表す。

密度演算子$\hat{\rho}$は以下の性質を満たす。

• $\hat{\rho}$はエルミート演算子
• 任意の$|\phi\rangle\in\mathcal{H}$に対し、$0\leq\langle\phi|\hat{\rho}|\phi\rangle$
• $\mathrm{Tr} \{\mathbf{\rho} \} = 1$

物理量の測定

詳細は「オブザーバブル」を参照

演算子形式では、物理量はエルミート演算子で表す。そして、物理量$A \$の測定値はバラつくが、測定値はエルミート演算子$\hat{A} \$の固有値$a_1, a_2, \cdots \$に限られると仮定し、その確率分布P(a_n)は定まっており、

$P(a) = \left\| |a \rangle \langle a | \psi \rangle \right\|^2$

によって求められるとする（ボルンの規則）。

参考文献

• 清水明 『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』 サイエンス社、2004年。ISBN 4-7819-1062-9。

関連項目

• 量子力学
• ブラ-ケット記法