自然対数

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自然対数関数のグラフ。xの増加に伴って正の無限大に発散し、y軸を漸近線に持つ。

自然対数(しぜんたいすう、natural logarithm)は、ネイピア数を底とする対数 (logarithm) である。

歴史的には、オランダニコラス・メルカトルによって、1668年に、1/x積分として見出された。

\log x = \int_1^x {1 \over t}dt

自然対数の定める関数 log x指数関数 ex逆関数である。

分野によっては、log x と書いたときに常用対数や底が 2 の対数と紛らわしい場合などがあるため、ラテン語: logarithmus naturalis であることを強調して、特に{\rm ln}\,xと記すこともある。

複素数の対数関数[編集]

0 でない複素数 z を極座標表示して

z = r e^{i\theta}\,

と書けたとする。対数関数は指数関数の逆関数なので

\log z = \mathrm{ln}\,r + i\theta

(ln z とすることはあまりない)ということになるが、この θ の選び方は一通りではなく 2π の整数倍だけ異なる値を選ぶことができる。このことにより、複素数の対数関数は多価正則関数である。

定義域を制限することによって、その定義域の上では正則な一価関数となるように θ の選び方を定めることができる。定義域は 0 を含まない単連結領域ならどれでもよいが、よく使われるのは複素平面から 0 と負の実数を除いた領域であり、変数の偏角が-π < θ < π の範囲を動き、r e^{i\theta} \mapsto \mathrm{ln}\,r + i\thetaによって正則な一価関数が得られる。この関数を対数関数の主値と呼び、

\mathrm{Log}\, z

と書くことがある(Ln z とすることはあまりない)。

複素対数関数は、実の対数関数の満たす恒等式を満たすとは限らないので注意が必要である。例えば Log ez = z や Log (zw) = Log z + Log w は一般には成り立たない。指数関数#指数法則等の不成立も参照。

バナッハ環における対数関数[編集]

|x| < 1 を満たす x に対して、テイラー展開

\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n

が可能である。なお、上記の級数展開も、1668年にニコラス・メルカトルにより見出されたもの。

すべての固有値の絶対値が 1 より小さい正方行列 X が与えられたとき、このテイラー展開の変数に X を代入することにより、行列 I + X の対数 ln(I + X) (IX と同じサイズの単位行列)が定義される。より一般的に、和や積の構造と両立するノルムを持った完備な空間であるバナッハ環において、ノルムが 1 より小さい元 x に対し上の式によって 1 + x の対数が上と同じ式によって定義できる。このとき指数関数による ln(1 + x)の像は可逆元 1 + x になっている。

自然対数の様々な表示[編集]

指数関数xt = et log xt に関する導関数がxtlog xと書けることから、次のような自然対数の表示が得られる:

\log x = \lim_{t \to 0} \frac{x^{t} - 1}{t} = \lim_{n \to \infty} n (x^{{1}\over{n}} - 1).

関連項目[編集]