漸近線

$y=x+\tfrac{1}{x}$ の漸近線は y軸と直線 y = x である。

漸近線（ぜんきんせん、asymptote）とは、曲線に対して原点から十分遠いところで近づき、接することのない直線のことである。直線だけでなく曲線を考えることもある。漸近線は存在するとは限らず、複数存在する場合もある。漸近線を見出すことは、曲線のグラフの概形をつかむ一助となる。とくに座標平面における関数のグラフの漸近線の方程式は、（存在の可否も含めて）求め方が確立されている。

例 [編集]

$y=\tfrac{1}{x}$ のグラフの漸近線は、x軸および y軸である。

曲線が漸近線と無限回交わる例

定数関数、整関数のグラフには、漸近線は存在しない。漸近線が存在する最も簡単な例は、関数 $y=\tfrac{1}{x}$ である。このグラフの漸近線は、直線 x = 0 と直線 y = 0 である。グラフを描くと、どの端もこれらの直線に近づいていき、決して接しないことが見てとれる。この場合はグラフと漸近線は交わらないが、一般にはそうとは限らない。漸近線が存在する関数は他にも多く存在する。以下に代表的なものを挙げる。

座標平面上の関数とその漸近線
グラフ名	グラフの方程式	漸近線の方程式
正接関数	y = tan x	$x=\frac{\pi}{2} +n\pi$ （n は整数）
指数関数	y = a^x	y = 0
対数関数	y = log_a x (a > 0, a ≠ 1)	x = 0
双曲線	$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} =\pm 1$ (a > 0, b > 0)	$y=\pm \frac{b}{a} x$
双曲線正接関数	$y=\tanh x=\frac{e^x -e^{-x}}{e^x +e^{-x}}$	y = ±1
逆正接関数	$y=\arctan x$	$y=\pm \frac{\pi}{2}$
逆双曲線正接関数	$y=\tanh^{-1} x=\frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x}$	x = ±1

分数関数においては、漸近線が存在する事例が多いが、存在しないこともある。（存在しない例：

$y=\frac{x^4 +x^2 +1}{x^2 +1}$ ）

無理関数においては、漸近線が存在するのは $y=\sqrt{x^2 \pm a^2}$ (a > 0)（漸近線は y = x）などに限られる。

グラフと漸近線が遠くで無限回交わる例もある。減衰曲線（ $y=\frac{\sin x}{x}$ や y = e^−xsin x など）と x軸はその一例である。

漸近線の方程式の求め方 [編集]

関数のグラフ [編集]

座標平面上の関数のグラフの漸近線の方程式は次のようにして求めることができる。漸近線は直線なので、関数 y = f(x) の漸近線は

x = a（y軸平行）
y = ax + b（1次関数または定数関数）

の2タイプに分けられる。

y軸平行の漸近線 [編集]

直線 x = a がグラフ y = f(x) の漸近線であるための必要十分条件は、以下の4つのいずれかを満たすことである。

$\lim_{x\to a+} f(x)=\infty$
$\lim_{x\to a-} f(x)=\infty$
$\lim_{x\to a+} f(x)=-\infty$
$\lim_{x\to a-} f(x)=-\infty$

いずれの場合においても、f(x) は x = a で不連続である。したがって、関数の不連続点を候補として調べればよい。

y = ax + b 型の漸近線 [編集]

直線 y = ax + b はグラフ y = f(x) に x → ∞ で近づく漸近線であるとする。漸近線 y = ax + b の傾き a, y切片 b はそれそれ次の極限値で与えられる（x → −∞ の場合も同様）。

$a=\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}$

$b=\lim_{x\to \infty} (f(x)-ax)$

（証明）

直線 y = ax + b はグラフ y = f(x) に x → ∞ で近づくから、

$\lim_{x\to \infty} \{ f(x)-(ax+b)\} =0$

左辺の式を x で割った式は、x → ∞ のとき尚のこと 0 に近付いていく。ゆえに

$\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)-(ax+b)}{x} =0$

左辺において $\frac{1}{x}$ を分配すると、 $\lim_{x \to \infty} \frac{b}{x} =0$ なので、

$\lim_{x\to \infty} \left( \frac{f(x)}{x} -a\right) =0$

ゆえに $a=\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}$ である。

$b=\lim_{x\to \infty} (f(x)-ax)$ は、 $\lim_{x\to \infty} \{ f(x)-(ax+b)\} =0$ から明らかである。■

この等式より、y = ax + b 型の漸近線は、x → ∞ と x → −∞ にそれぞれ高々1つであることが分かる。

x軸平行の漸近線 [編集]

x軸平行の漸近線は比較的求めやすい。前節の特に a = 0 の場合である。x軸平行の漸近線 y = b は

$\lim_{x\to \infty} f(x)=b$ または $\lim_{x\to -\infty} f(x)=b$

で与えられる。

y = arctan x のグラフは、2つの水平な漸近線が存在する例である。

例えば、逆正接関数 y = arctan x において、

$\lim_{x\to \infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}$

$\lim_{x\to -\infty} \arctan x=-\frac{\pi}{2}$

だから、 $y=\pm \frac{\pi}{2}$ は漸近線である。

分数関数の漸近線 [編集]

分数関数においては、上記の方法を使わずに求めることができる。

分数関数の方程式を $y= \frac{g(x)}{h(x)}$ （g(x), h(x) は整式, $\frac{g(x)}{h(x)}$ は定数でない）とする。この分数関数の漸近線は次の2タイプである。

直線 x = a₁, ... , x = a_n
直線 y = q(x) （1次以下）

ここで、

h(x) = 0, g(x) ≠ 0 を満たす x = a₁, ... , a_n
g(x) ÷ h(x) の商, 余りをそれぞれ q(x), r(x) (deg r < deg h)

とする。

例えば、

$y=\frac{x^2-5x+6}{x^3-3x^2+2x} =\frac{(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x-2)}$

の y 軸平行な漸近線は直線 x = 0, x = 1 である。直線 x = 2 は漸近線でない。

$\frac{g(x)}{h(x)} =q(x)+\frac{r(x)}{h(x)}$

となるから、deg g − deg h の場合に応じて、y = ax + b 型の漸近線は次の表のようになる。

分数関数の y = ax + b 型漸近線リスト
deg g − deg h	1次関数型漸近線	分数関数，1次関数型漸近線の例
< 0	y = 0	$\frac{1}{x^2+1}, y=0$
= 0	y = q(x)（定数関数）	$\frac{2x^2+7}{3x^2+x+12} ,y=\frac{2}{3}$
= 1	y = q(x)	$\frac{x^2+x+1}{x} ,y=x+1$
> 1	存在しない	$\frac{2x^4}{3x^2+1}$ , なし