# 逆双曲線関数

## 対数表現

\begin{align} \operatorname{arsinh}\, z &= \ln(z + \sqrt{z^2 + 1} \,) \\[2.5ex] \operatorname{arcosh}\, z &= \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt{z-1} \,) \\[1.5ex] \operatorname{artanh}\, z &= \tfrac12\ln\left(\frac{1+z}{1-z}\right) \\ \operatorname{arcoth}\, z &= \tfrac12\ln\left(\frac{z+1}{z-1}\right) \\ \operatorname{arcsch}\, z &= \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z^2} +1 } \,\right) \\ \operatorname{arsech}\, z &= \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z} + 1 } \, \sqrt{ \frac{1}{z} -1 } \,\right) \end{align}

$\operatorname{arsinh}(z)$
$\operatorname{arcosh}(z)$
$\operatorname{artanh}(z)$
$\operatorname{arcoth}(z)$
$\operatorname{arsech}(z)$
$\operatorname{arcsch}(z)$
z平面（複素数平面）における逆双曲線関数：平面における各点の色はその点における関数の複素数を表す。

## 級数展開

\begin{align}\operatorname{arsinh}\, x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1 \end{align}
\begin{align}\operatorname{arcosh}\, x & = \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\ & = \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1 \end{align}
\begin{align}\operatorname{artanh}\, x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1 \end{align}
\begin{align}\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsinh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}
\begin{align}\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arcosh} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\ & = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 < x \le 1 \end{align}
\begin{align}\operatorname{arcoth}\, x = \operatorname{artanh} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}

arsinh x に対する漸近展開は次の式で与えられる。

$\operatorname{arsinh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}$

## 導関数

\begin{align} \frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcosh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{artanh}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcoth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\ \end{align}

\begin{align} \frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0 \end{align}

$\frac{d\,\operatorname{arsinh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

## 双曲線関数と逆双曲線関数の合成

\begin{align} &\sinh(\operatorname{arcosh}\,x) = \sqrt{x^{2} - 1} \quad \text{for} \quad |x| > 1 \\ &\sinh(\operatorname{artanh}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 < x < 1 \\ &\cosh(\operatorname{arsinh}\,x) = \sqrt{1+x^{2}} \\ &\cosh(\operatorname{artanh}\,x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 < x < 1 \\ &\tanh(\operatorname{arsinh}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \\ &\tanh(\operatorname{arcosh}\,x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} \quad \text{for} \quad |x| > 1 \end{align}

## 加法公式

$\operatorname{arsinh} \;u \pm \operatorname{arsinh} \;v = \operatorname{arsinh} \left(u \sqrt{1 + v^2} \pm v \sqrt{1 + u^2}\right)$
$\operatorname{arcosh} \;u \pm \operatorname{arcosh} \;v = \operatorname{arcosh} \left(u v \pm \sqrt{(u^2 - 1) (v^2 - 1)}\right)$
$\operatorname{artanh} \;u \pm \operatorname{artanh} \;v = \operatorname{artanh} \left( \frac{u \pm v}{1 \pm uv} \right)$
\begin{align}\operatorname{arsinh} \;u + \operatorname{arcosh} \;v & = \operatorname{arsinh} \left(u v + \sqrt{(1 + u^2) (v^2 - 1)}\right) \\ & = \operatorname{arcosh} \left(v \sqrt{1 + u^2} + u \sqrt{v^2 - 1}\right) \end{align}

## 逆双曲線関数の恒等式

\begin{align} \operatorname{arcosh}(2x^2-1)=2\operatorname{arcosh}(x) \quad\quad \hbox{ for }x\geq 1 \\ \operatorname{arcosh}(8x^4-8x^2+1)=4\operatorname{arcosh}(x) \quad\quad \hbox{ for }x\geq 1 \\ \operatorname{arcosh}(2x^2+1)=2\operatorname{arsinh}(x) \quad\quad \hbox{ for }x\geq 0 \\ \operatorname{arcosh}(8x^4+8x^2+1)=4\operatorname{arsinh}(x) \quad\quad \hbox{ for }x\geq 0 \end{align}

## 脚注

1. ^ Jan Gullberg, Mathematics: From the Birth of NumbersNew York: W. W. Norton & Company, 1997）, ISBN 0-393-04002-X, p. 539には以下のような記述がある。

arcsinh x, arccosh x などの似て非なる表記法は、厳しく糾弾されなければならない。実際これらの関数はarcとは何らの関係もなく、areaと関係するものであり、それはラテン語で書かれた真の名前が証明している。

arsinh     = ラテン語: area sinus hyperbolicus
arcosh     = ラテン語: area cosinus hyperbolicus

2. ^ Eberhard Zeidler, Wolfgang Hackbusch and Hans Rudolf Schwarz, Oxford Users' Guide to Mathematics (Bruce Hunt英訳, Oxford: Oxford University Press, 2004), ISBN 0-19-850763-1, Section 0.2.13: "The inverse hyperbolic functions", p. 68には以下のような記述がある。
 “ 逆双曲線関数のラテン語名は、area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicusそしてarea cotangens hyperbolicus (x). ...である。 ”
上記の引用では、arsinh, arcosh, artanh, arcothをそれぞれの逆双曲線関数の表記法として採用している。
3. ^ Ilja N. Bronshtein, Konstantin A. Semendyayev, Gerhard Musiol and Heiner Muehlig, Handbook of MathematicsBerlin: Springer-Verlag, 5th ed., 2007), ISBN 3-540-72121-5, doi:10.1007/978-3-540-72122-2, Section 2.10: "Area Functions", p. 91には以下のような記述がある。

面積関数は双曲線関数の逆関数すなわち逆双曲線関数 である。関数sinh x, tanh x およびcoth x は厳密に単調であるので、何らの制限なく、独自の逆関数を持つ。関数cosh x は2つの単調な間隔を持つので、2つの逆関数を持つとみなすことができる。area と言う名前は、関数の幾何学的な定義は、特定の双曲的扇形の面積であるという事実を意味する。...