リンデマンの定理

リンデマンの定理（リンデマンのていり、Lindemann's theorem）は、1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンが証明した、超越数論における定理のひとつである。この定理は、円周率やネイピア数などの数が超越数であることを内包する。1885年のカール・ワイエルシュトラスによる寄与を踏まえ、リンデマン=ワイエルシュトラスの定理 (Lindemann–Weierstrass theorem) とも呼ばれる。

定理の主張

α₁, …, α_n が相異なる代数的数であるとき、e^α₁, …, e^α_n は Q 上一次独立である(eはネイピア数)。すなわち、

$c_1e^{\alpha_1}+\cdots+c_ne^{\alpha_n}=0$

を満たす代数的数の組 (c₁, …, c_n) は (0, …, 0) のみである。

同値な命題として、次のように定式化されることもある。α₁, …, α_n が Q 上一次独立な代数的数であるとき、e^α₁, …, e^α_n は Q 上代数的独立である。

系

定理において、n = 2, α₁ = 0, α₂ = α ≠ 0 とすると、1 と e^α は Q 上一次独立である。すなわち、0 でない代数的数 α に対して e^α は超越数である。

特別な数の超越性

この定理より、いくつかの特別な数が超越数であることが直ちに従う。まず、系において α = 1 とすると、ネイピア数 e は超越数であることが分かる。

円周率 π が超越数であることは、次のようにして従う。π が代数的数であると仮定すると、i π も代数的数であるから、系より e^{i π} は超越数である。しかるに、オイラーの公式より e^{i π} = -1 であるから、これは矛盾である。したがって、π は超越数である。

0 でも 1 でもない代数的数 β に対して、log β は超越数である。これを見るために、log β が代数的数と仮定する。系において α = log β とすると、e^{log β} = β は超越数となるが、これは仮定に反する。

0 でない代数的数 θ に対して、sin θ は超越数である。もしそうでなければ、γ := 2i sin θ は代数的数であり、オイラーの公式より 2i sin θ = e^{i θ} - e^{-i θ} であるから、γ - e^{i θ} + e^{-i θ} = 0 となる。これは、定理において n = 3, α₁ = 0, α₂ = i θ, α₃ = -i θ として得られる結果に矛盾する。よって、sin θ は超越数である。同様にして、cos θ = (e^{i θ} + e^{-i θ})/2 も超越数であることが分かる。

歴史

1873年、シャルル・エルミートは e が超越数であることを示した。このことを言い換えるならば、α₁, …, α_n が相異なる自然数であるとき、e^α₁, …, e^α_n は Q 上一次独立である。リンデマンの定理は、この結果の「自然数」を「代数的数」に、「Q 上」を「Q 上」に 拡張したものである。リンデマンは、1882年にこの定理を証明し、同時に円周率が超越数であること、円の正方形化が不可能であることを歴史上はじめて明らかにした。1885年、カール・ワイエルシュトラスは、リンデマンの定理の証明を簡単にしたものを公表した。その後、ヒルベルトらがさらに証明を簡単にした。リンデマンの定理の p-進類似や、一般化であってゲルフォント＝シュナイダーの定理も含むシャヌエルの予想は、2009年現在未解決問題である。

関連項目

• ネイピア数の無理性の証明
• 円周率の無理性の証明

参考文献

• 塩川宇賢 『無理数と超越数』 森北出版、1999年3月。ISBN 4-627-06091-2。
• Beckmann, Petr (1976). History of Pi (3rd edition ed.). St. Martin's Press. ISBN 0312381859.  - 超越性については主に第16章。
  • ペートル・ベックマン 『πの歴史』 田尾陽一・清水韶光訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2006年4月。ISBN 4-480-08985-3。

外部リンク

• Weisstein, Eric W., "Lindemann-Weierstrass Theorem" - MathWorld.（英語）