ネイピア数の表現

数学記事シリーズ 数学定数 e 自然対数 · 指数関数 応用: 複利オイラーの等式 · オイラーの公式 · 半減期 · 指数増加/減衰 e の定義: e の無理性 · e の表現 · リンデマン=ワイエルシュトラスの定理 人物 ネイピア · オイラー シャヌエルの予想 (en)

ネイピア数の表現 (ねいぴあすうのひょうげん, 英語: representation of Napier's constant) とは、数学でのネイピア数の様々な表現を集積した一覧である。重要な数学定数であるネイピア数 e、すなわち自然対数の底は実数として様々な方法で表現が可能である。e は無理数であるため (ネイピア数の無理性の証明) 通常の分数では表現できないが、無限連分数によれば表現可能である。さらに解析学的手法を用いることにより、e は無限級数、無限乗積、あるいはある種の数列の極限として表現すことが可能である。

定義

ここではまずネイピア数 e の定義を与える。本項において e の定義と e の表現には明確な差はないが、歴史的に e の利用目的・存在理由としての意義付けが明確なものを定義として扱かっている。

I. ヤコブ・ベルヌーイによるとされる e の定義:

$e = \lim_{n \to \infty}\left( 1 + {1 \over n }\right)^n$

ベルヌーイは複利計算の過程でこの式の重要性を見いだしたとされている。

II. 微分積分学的な定義:

$e = a\,$,   s.t.   $\frac{d}{dx} a^x = a^x\,$

x を指数部に持つ指数関数において x による微分がその関数自身となる、という e の性質は微分積分学での最も基本的なものの一つである。

連分数による表現

e は様々な無限連分数で表現できる。超越数であるので循環節は持たないが、ある種の規則性が観察される。

• I. e は単純な正則連分数で表現可能である:

$e = [2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots, \textbf{2n}, 1, 1, \ldots] \,$

$= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\ddots}}}}}$

• II. 一般連分数による表現

$e= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{5+\ddots}}}}}$

• III. (II)から連分数等価変換により得られる連分数

$e= 2+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\cfrac{6}{6+\ddots\,}}}}}$

• IV. (II) から変換して得られるが、 ... 6, 10, 14, ... という項を含み、収束が早い。

$e = 1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\ddots\,}}}}}$

• V. この例は e の指数関数のうち特殊なケースである。

$e^\frac{2x}{y} = 1+\cfrac{2x}{(y-x)+\cfrac{x^2}{3y+\cfrac{x^2}{5y+\cfrac{x^2}{7y+\cfrac{x^2}{9y+\ddots\,}}}}}$

無限数列による表現

ネイピア数 e は次のような無限数列の和で表される。

• $e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$

• $e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}$

• $e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}$

• $e = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}$

• $e = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}$

• $e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}$

• $e = \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}$

• $e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!} \right ]^2$

• $e = -\frac{12}{\pi^2} \left [ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ) \right ]^{-1/3}$

• $e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}$

• $e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2(k-1)!}$

• $e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}$

• $e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}$

• $e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^n}{B_n(k!)}$　　($B_n$ は n 番目のベル数)

無限乗積による表現

ネイピア数 e はいくつかの無限乗積の形式で表現できる。

• I. Pippengerの積:

$e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots$

• II. Guillera の積:

$e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4} \cdots ,$

ここに n 番目の要素は次の積 の n 番目の根である。

$\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}$

• III. 無限乗積:

$e = \frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots }.$

数列の極限による表現

ネイピア数 e はいくつかの無限数列の総和の極限すなわち級数として表現できる。

• I. スターリングの公式その1

$e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}$

• II. スターリングの公式その2

$e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

• III. 上述の e の基本的な極限による定義から得られる対称形の極限

$e=\lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ]$

• IV. 別の極限による例

$e= \lim_{n \to \infty}(p_n \#)^{1/p_n}$

ここで $p_n$ は n 番目の素数、$p_n \#$ は $p_n$ の素数階乗

• V. 極限による指数関数の一般形式

$e^x= \lim_{n \to \infty}\left (1+ \frac{x}{n} \right )^n$