対数積分

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数学において、対数積分(たいすうせきぶん、Logarithmic integral function) li(x) とは、全ての正の実数 x≠ 1 において次の定積分によって定義される特殊関数である。

 {\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \;

ここで、ln は自然対数である。ただし、関数 1/ln (t) は、t = 1 において特異点を持つが、x > 1 において、上記の積分は、次のようにコーシーの主値として解釈される。

 {\rm li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\ln (t)} + \int_{1+\varepsilon}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \right) \;

x → ∞ におけるこの関数の発展挙動は、

 {\rm li} (x) = \Theta \left( {x\over \ln (x)} \right)

対数積分は素数の密度を推定するために使われることが多く、素数定理などで次の式として登場する。

 \pi(x) \sim {\rm li}(x) \sim {\rm Li}(x)

ここで、π(x) は x 以下の素数の個数、Li(x) は補正対数積分関数であり、Li(x) はオイラーの対数積分とも呼ばれる。

 {\rm Li}(x) = {\rm li}(x) - {\rm li}(2) \,

あるいは

 {\rm Li} (x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t} \,

である。このようにすると、積分表現が積分領域の特異点を回避するという優位点があり、x よりも小さな素数の数を非常に良く近似する。

関数 li(x) と指数積分 Ei(x) との間には、x ≠ 1 を満たす全ての正の整数について次の関係が成立する。

li(x) = Ei (ln (x))