クライン-ゴルドン方程式

量子力学

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

不確定性原理

紹介 · 数学的基礎

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クライン-ゴルドン方程式 (クライン-ゴルドンほうていしき Klein‐Gordon equation) は、スピン0の相対論的な自由粒子を表す場（クライン-ゴルドン場）が満たす方程式である。スウェーデン人物理学者オスカル・クラインとドイツ人物理学者ヴァルター・ゴルドンにちなんで名づけられた。

概要

質量m の粒子を表すクライン-ゴルドン場を$\phi(\boldsymbol{x},t)$とすると、クライン-ゴルドン方程式は

$\left [ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 +\biggl ( \frac{mc}{\hbar} \biggr )^2 \right ] \phi(\boldsymbol{x},t) = 0$

と表される。但し、∇²はラプラス作用素、c は光速度、$\hbar$はプランク定数を2πで割った定数である。

ここで、ダランベールの演算子

$\square \equiv \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2$

と新たな量

$\mu \equiv \frac{mc}{\hbar}$

を導入すれば、クライン-ゴルドン方程式は

$(\square+\mu^2)\phi(\boldsymbol{x},t) = 0$

と簡明に表すことができる。

なお、クライン-ゴルドン方程式の記述においては、$c=1, \hbar=1$とする自然単位系が採用されることも多い。

導出

相対論的な粒子のエネルギーを$\epsilon$、運動量をp とすると、

$\epsilon^2 =\, m^2 c^4 + c^2 p^2$

が成り立つ。ただし、m は粒子の静止質量、c は光速度である。ここで、非相対論的量子力学とのアナロジーによって、 $\vec{p} = -i \hbar \nabla$及び$\epsilon = i \hbar {\partial \over {\partial t} }$という置き換えをすると、

$\left(i \hbar {\partial \over {\partial t} } \right)^2 = m^2 c^4 + c^2 (-i \hbar \nabla)^2$

となる。この式を、クライン-ゴルドン場$\phi(\boldsymbol{x},t)$に作用する演算子に対する等式とみなすと、

$- \hbar^2 {\partial^2 \over {\partial t^2} } \phi(\boldsymbol{x},t) = - \hbar^2 c^2 \nabla^2 \phi(\boldsymbol{x},t) + m^2 c^4 \phi(\mathbf{x},t)$

を得る。上式の両辺を$\hbar^2 c^2$で割り、整理すると、クライン-ゴルドン方程式が得られる。

変分原理による導出

物理における他の基礎方程式と同様に、クライン-ゴルドン方程式も作用積分に対する変分から導くことができる（変分原理）。 クライン-ゴルドン方程式において、作用積分

$I=\int d^4x \, \mathcal{L}(x) \quad (x=(t, \mathbf{x})\,)$

のラグランジアン密度は、

$\mathcal{L}(x) =\frac{\hbar^2}{2}(\partial_{\mu} \phi)(\partial^{\mu} \phi)-\frac{1}{2} m^2 c^2 \phi^2$

$=\frac{\hbar^2}{2} \left \{ \frac{1}{c^2} \biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial t}\biggr )^2 -\biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial x}\biggr )^2 -\biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial y}\biggr )^2 -\biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial z}\biggr )^2 \right \} -\frac{1}{2} m^2 c^2 \phi^2$

で与えられる。但し、添え字μについてはアインシュタインの記法に従った和を取るものとする。このとき、場の量に対するオイラー＝ラグランジュ方程式

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}- \partial_\mu \biggl ( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \biggr ) =0$

より、上述のクライン-ゴルドン方程式が導かれる。

参考文献

原論文

• W. Gordon, "Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie," Z. Phys., 40, 117 (1926) doi:10.1007/BF01390840
• O. Klein, "Elektrodynamik und Wellenmechanik vom Standpunkt des Korrespondenzprinzips," Z. Phys., 41, 407 (1927) doi:10.1007/BF01400205

参考書籍

• J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics, Addison Wesley(1967), ISBN 978-0201067101

関連項目

• 相対論的量子力学
• 波動方程式-電信方程式