クライン-ゴルドン方程式

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量子力学
\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
不確定性原理
紹介 · 数学的基礎

クライン-ゴルドン方程式 (クライン-ゴルドンほうていしき、: Klein‐Gordon equation) は、スピン0の相対論的な自由粒子を表す場(クライン-ゴルドン場)が満たす方程式である。スウェーデン人物理学オスカル・クラインドイツ人物理学者ヴァルター・ゴルドンにちなんで名づけられた。

概要[編集]

質量m の自由粒子を表すクライン-ゴルドン場を\phi(\boldsymbol{x},t)とすると、クライン-ゴルドン方程式は


\left [
\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2
+\biggl ( \frac{mc}{\hbar} \biggr )^2
\right ]
\phi(\boldsymbol{x},t) = 0

と表される。但し、∇2ラプラス作用素c光速度\hbarプランク定数を2πで割った定数である。クライン-ゴルドン方程式は、ローレンツ変換に対して形を変えない、相対論的に不変な方程式である。

ここで、ダランベールの演算子

\square \equiv \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2

と新たな量

\mu \equiv \frac{mc}{\hbar}

を導入すれば、クライン-ゴルドン方程式は

(\square+\mu^2)\phi(\boldsymbol{x},t) = 0

と簡明に表すことができる。

なお、クライン-ゴルドン方程式の記述においては、c=1, \hbar=1とする自然単位系が採用されることも多い。

歴史[編集]

量子論の形成において、相対論的波動方程式は波動力学の基礎を築いたエルヴィン・シュレーディンガーによって、最初に考察された。シュレーディンガーは、波動力学の基礎方程式を導出する過程の中で、相対論的な方程式を考えたが、これは水素原子のスペクトル構造を正しく与えることができず、1926年に非相対論的なシュレーディンガー方程式を導くに至った。また、ルイ・ド・ブロイド・ブロイ波の理論の中で、粒子性と波動性を持つ物質場を相対論的に論じた。

シュレーディンガー方程式による量子力学の定式化が成功を収めて間もなく、非相対論的なシュレーディンガー方程式の相対論的な方程式への拡張として、クライン-ゴルドン方程式がオスカル・クライン[1]、ヴァルター・ゴルドン[2]によって提案された。また、同時期にウラジミール・フォック[3]、J. Kudar[4]、テオドール・ド・ドンデル[5]らも同様な提案を行った。

しかしながら、当初、クライン-ゴルドン方程式が記述する\phi(\boldsymbol{x},t)波動関数として、解釈されたため、いくつかの問題を抱えていた。\phi(\boldsymbol{x},t)を波動関数と見なした場合、クライン-ゴルドン方程式は時間について二階の微分方程式であり、確率密度が負の値を取りうるため、量子力学における確率解釈が困難であった。また、正のエネルギーの解に加えて、負のエネルギーの解が現れるため、粒子が安定な状態をとれない問題を抱えていた。こうした問題から、クライン-ゴルドン方程式は一旦、理論から放棄されることとなった。

1928年にポール・ディラックは、この確率解釈の困難を解消すべく、クライン-ゴルドン方程式に代わる基礎方程式として、時間について一階の微分方程式であるディラック方程式を導いた[6]。ディラック方程式にも負のエネルギーが現れるものの、これは波動関数ではなく、正負の電荷をもつスピン1/2のフェルミ粒子の場(ディラック場)を記述する方程式と理解され、相対論的量子力学の基礎方程式と位置付けられるようになった。

ディラック方程式のみならず、クライン-ゴルドン方程式が、相対論的な場が満たす正しい方程式であることは、1934年にウォルフガング・パウリヴィクター・ワイスコップによって示された[7]。パウリとワイスコップは、正準量子化したスピン0のボース粒子の場の満たす方程式がクライン-ゴルドン方程式であることを明らかにした。後に、クライン-ゴルドン方程式を満たすスカラー場の理論は、パイ中間子の理論の発展に寄与することとなった。

導出[編集]

相対論的な粒子のエネルギー\epsilon運動量p とすると、

 \epsilon^2 =\, m^2 c^4 + c^2 p^2

が成り立つ。ただし、m は粒子の静止質量c光速度である。ここで、非相対論的量子力学とのアナロジーによって、  \vec{p} = -i \hbar \nabla 及び \epsilon = i \hbar {\partial \over {\partial t} } という置き換えをすると、

 \left(i \hbar {\partial \over {\partial t} } \right)^2 = m^2 c^4 + c^2 (-i \hbar \nabla)^2

となる。この式を、クライン-ゴルドン場\phi(\boldsymbol{x},t)に作用する演算子に対する等式とみなすと、

 - \hbar^2 {\partial^2 \over {\partial t^2} } \phi(\boldsymbol{x},t) = - \hbar^2 c^2 \nabla^2 \phi(\boldsymbol{x},t) + m^2 c^4 \phi(\mathbf{x},t)

を得る。上式の両辺を\hbar^2 c^2 で割り、整理すると、クライン-ゴルドン方程式が得られる。

変分原理による導出[編集]

物理における他の基礎方程式と同様に、クライン-ゴルドン方程式も作用積分に対する変分から導くことができる(変分原理)。 クライン-ゴルドン方程式において、作用積分

I=\int d^4x \, \mathcal{L}(x) \quad (x=(t, \mathbf{x})\,)

のラグランジアン密度は、


\mathcal{L}(x)
=\frac{\hbar^2}{2}(\partial_{\mu} \phi)(\partial^{\mu} \phi)-\frac{1}{2} m^2 c^2 \phi^2

=\frac{\hbar^2}{2}
\left \{
\frac{1}{c^2} \biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial t}\biggr )^2
-\biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial x}\biggr )^2
-\biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial y}\biggr )^2
-\biggl ( \frac{\partial \phi}{\partial z}\biggr )^2
\right \}
-\frac{1}{2} m^2 c^2 \phi^2

で与えられる。但し、添え字μについてはアインシュタインの記法に従った和を取るものとする。このとき、場の量に対するオイラー=ラグランジュ方程式


\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}-
\partial_\mu \biggl ( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}
\biggr ) =0

より、上述のクライン-ゴルドン方程式が導かれる。

脚注[編集]

  1. ^ O. Klein, "Elektrodynamik und Wellenmechanik vom Standpunkt des Korrespondenzprinzips," Z. Phys., 41, 407 (1927) doi:10.1007/BF01400205
  2. ^ W. Gordon, "Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie," Z. Phys., 40, 117 (1926) doi:10.1007/BF01390840
  3. ^ V. Fock, "Zur Schrödingerschen Wellenmechanik"Z. Phys., 38, 242 doi:10.1007/BF01399113(1926)
  4. ^ J. Kudar, "Zur vierdimensionalen Formulierung der undulatorischen Mechanik" Ann.der Phys. 386, 632 (1926) doi:10.1002/andp.19263862208
  5. ^ The. de Donder,"La quanification deduite de la Gravifique einsteinienne," Comptes-rendus de l'Académie des Sciences (Paris) 183, 22 (1926)
  6. ^ P.A.M. Dirac, "The Quantum Theory of the Electron", Proc. R. Soc. A,117, 610 (1928) doi:10.1098/rspa.1928.0023
  7. ^ W. Pauli and V. Weisskopf, "Über die Quantisierung der skalaren relativistischen Wellengleichung," Helv. Phys. Acta 7, 709 (1934) doi:10.5169/seals-110395

参考文献[編集]

関連項目[編集]