電信方程式

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電信方程式(でんしんほうていしき、: telegraphic equation)とは、波動信号の伝播を記述する2階の線形偏微分方程式のこと。分布定数回路における電流や電圧の分布、導体中の電磁場の伝播、減衰のある弦の振動などの現象を記述する。

定義と性質[編集]

空間変数x と時間変数t と実数値関数u (x, t )に対し、


\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}  - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}  +\gamma u=0

で与えられる双曲型の2階偏微分方程式を電信方程式という。特にγ=0である場合は、通常の波動方程式に相当する。

より一般的にn次元の空間変数x=(x1,…,xn) と時間変数t の実数値関数u (x, t )に対し、


\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \nabla^2 u +\gamma u=0

で与えられる偏微分方程式も電信方程式という。但し、∇2はn次元におけるラプラス作用素


\nabla^2=\frac{\partial ^2}{\partial x_1^{\, 2}} + \frac{\partial ^2}{\partial x_2^{\, 2}} 
+ \cdots + \frac{\partial ^2}{\partial x_n^{\, 2}}

である。

標準形

電信方程式は、時間t についての一階の導関数や物理的な係数を含んだ形で、


\left [ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2
+ \frac{1}{\kappa^2} \frac{\partial}{\partial t} + \mu^2 \right ]
u(\boldsymbol{x},t) = 0

という形式で表現される場合が多い。このような場合でも


\chi(\boldsymbol{x},t) = e^{\frac{c^2}{2\kappa^2}t}\cdot u(\boldsymbol{x},t)
, \quad
s=ct, \quad
\gamma=\mu^2-\frac{c^2}{4\kappa^2}

という変換にて、


\frac{\partial ^2 \chi}{\partial s^2}  - \nabla^2 \chi + \gamma \chi=0

となり、上記の形式に帰着される。

電信方程式に従う物理現象[編集]

分布定数回路における電圧、電流分布[編集]

伝送線路などの分布定数回路において、位置x、時刻t における電圧をV(x, t )、電流をI(x, t )とすると以下を満たす。


C \frac{\partial  V}{\partial t}  +GV + \frac{\partial I}{\partial x} =0

L \frac{\partial  I}{\partial t}  +RI + \frac{\partial V}{\partial x} =0

ここで、L は伝送線路のインダクタンス、R は伝送線路の抵抗、C は伝送線路の容量、G は伝送線路の漏洩コンダクタンスである。狭義の意味では、電信方程式は分布定数回路における、この連立微分方程式そのものを指すことが多い。

上式から互いの変数を消去すれば、


LC \frac{\partial ^2 V}{\partial t^2}  +(LG+RC) \frac{\partial V}{\partial t}
- \frac{\partial ^2 V}{\partial x^2}+RGV=0

LC \frac{\partial ^2 I}{\partial t^2}  +(LG+RC) \frac{\partial I}{\partial t}
- \frac{\partial ^2 I}{\partial x^2}+RGI=0

を得る。

導体中の電磁場[編集]

電気伝導率σ、誘電率ε、透磁率μの導体中において、電場E(x,t )と磁場H(x,t )は、次の形の電信方程式を満たす。


\mu \varepsilon  \frac{\partial ^2 \mathbf{E} }{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{E}
+ \mu \sigma \frac{\partial \mathbf{E} }{\partial t}=0

\mu \varepsilon  \frac{\partial ^2 \mathbf{H} }{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{H}
+ \mu \sigma \frac{\partial \mathbf{H} }{\partial t}=0

減衰のある弦の振動[編集]

減衰ある弦の振動において、位置x と時刻t における弦の変位をu (x, t )とすると、u (x, t )は


\rho \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}-T \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}
+ \rho \kappa \frac{\partial u}{\partial t}=0 
\,

で与えられる電信方程式を満たす。ここで、T は張力、ρは弦の線密度、κは減衰の効果を表す比例係数である。

クライン-ゴルドン方程式[編集]

場の量子論において、クライン-ゴルドン場φ(x,t )の満たすクライン-ゴルドン方程式は、電信方程式と等価である以下の形で与えられる。


\left [
\frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2 }{\partial t^2}-\nabla^2 
+\biggl ( \frac{mc}{\hbar} \biggr ) ^2 
\right ]
\phi(\mathbf{x},t) =0

ここでc は光速度、m はクライン-ゴルドン場の粒子の質量である。

参考文献[編集]

  • R. Courant, D. Hilbert, Methoden Der Mathematischen Physik , R. クーラン, D. ヒルベルト (著), 丸山 滋弥, 斎藤 利弥 (翻訳)『数理物理学の方法』東京図書

関連項目[編集]