分布定数回路

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分布定数回路(ぶんぷていすうかいろ、ぶんぷじょうすうかいろ)は、回路素子が有限の個数で集中することなく、無限に分布している回路である。例えば1mあたり100pFの静電容量を持つ同軸ケーブルがあったとする。これは、10cmあたり10pFでもあり、1cmあたり1pFでもある。非常に小さな容量のコンデンサが無限に分布していると考えられ、これを分布定数回路と言う。インダクタで考えても同様である。

ケーブルのように一様な形状・電気特性の箇所にケーブルの長さよりも十分に波長が短くなるような高周波の交流信号が加えられ、ケーブルの全体にわたって電圧・電流分布が均一であるとみなせないような状況の下での振る舞いを取り扱う。対義の概念は集中定数回路である。

特性をあらわすためにSパラメータを用いることが多い。

概要[編集]

典型的な例として平行二線線路、同軸ケーブルを考えてみる。 長さ方向に導通を前提とした小さい抵抗成分、インダクタンス成分が、長さ方向のある点では導体間に容量成分、絶縁を前提とした大きい抵抗成分が存在する。

直流または十分に低い周波数では、線路を構成する導体全体で電圧・電流分布は一様と扱うことができる。

周波数が高い領域では、インダクタンス成分、容量成分の影響が顕在化し、印加した信号の線路上での進行をモデル化した電信方程式で取り扱う必要がある。

分布定数線路は周波数が高い領域での線路回路の取り扱いである。 ここでいう周波数の高い・低いは印加する信号の周波数と線路の長さから相対的に決まるもので、一般には線路長がλ/4程度になる前後から考慮する必要がある。 すなわち、商用電源送電網のように、一般的には周波数が低いと認識される場合でも、その線路長が非常に長い場合には、分布定数回路として扱う必要がある。



超高周波回路をつくるには、回路を構成する要素の遅延時間がマイクロ秒以下のオーダーでなければならず、したがって必然的に構成要素は極小(マイクロメートル以下)のスケールになる。 2009年での微細加工技術では,パソコンに使われるCPUの構成素子は全てナノサイズオーダーで作成されており,そういったデバイスでは動作周波数がGHz以上で作動するため,数ナノセカンド以内に素子から素子へ信号を伝える必要があり,遅延時間はナノセカンド以下に抑えられている。 当然、ミリメートル規模の要素(回路素子および配線の太さ)でつくられた回路は、遅延時間が大きく、超高周波では減衰率も大きいので,大きな回路要素では超高速動作(数十MHz以上の信号を扱う)は不可能である。 また,超短波(メートル波)以上の高周波数を取り扱う通信機器(携帯電話など)では,使用される受信回路には必ず分布定数回路の考えが取り入れられている。

低周波回路ではフィルタをつくるのにインダクタンス(=コイル)・コンデンサ・抵抗(LCR)を用いるが、超高周波回路では配線自体がLCRになってしまうため、配線だけでフィルタ(LPF・BPF・HPF・BEF)を構成できる。

設計には始めに、配線の特性を考慮して、信号の伝播に位相遅れが生じることを念頭に伝播速度・反射係数・減衰率・周波数余裕などを設定する必要がある。 配線間の容量・信号透過率も考慮しなければならないため非常に高度な設計法を必要とする。

回路方程式と諸特性[編集]

伝送線路の基本の構成要素の略図

伝送線路の回路モデルを示す。

R:単位長さあたりの抵抗成分

L:単位長さあたりのインダクタンス成分

G:単位長さあたりの導体間のコンダクタンス成分

C:単位長さあたりの導体間の容量成分

である。


分布定数線路の基本方程式[編集]

以下の2式は分布定数回路における基本方程式である。


-\frac{\partial}{\partial x} V(x,t) =
L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t) + R I(x,t)


-\frac{\partial}{\partial x} I(x,t) =
C \frac{\partial}{\partial t} V(x,t) + G V(x,t)

さらにxで偏微分して


\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} V =
L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} V +
(R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} V + G R V


\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I =
L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I +
(R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} I + G R I

を得る。これは「電信方程式Telegrapher's equations, Telegraphers equations)」と呼ばれる。

さらに上式に e^{j \omega t} なる電源を印加した時の偏微分方程式の定常解(特殊解)は伝播定数\gamma、特性インピーダンスZ_0を導入して


V =
K_1 e^{- \gamma x} + K_2 e^{\gamma x}


I =
\frac{1}{Z_0}(K_1 e^{- \gamma x} - K_2 e^{\gamma x})

となる。K_1K_2は境界条件によって決まる定数である。

伝播定数\gamma、特性インピーダンスZ_0は、


\gamma =
\sqrt{(R+j \omega L)(G+j \omega C)}


Z_0 =
\sqrt{\frac{R+j \omega L}{G+j \omega C}}

である。さらに、伝播定数\gammaの実部である減衰定数\alphaおよび、虚部である位相定数\betaは、以下のようになる。


\gamma =
\alpha + j \beta =
\sqrt{ZY} =
\sqrt{(R+j \omega L)(G+j \omega C)}

\alpha=
\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{(R^2+\omega^2 L^2)(G^2+ \omega^2 C^2)} + (RG-\omega^2LC))}

\beta=
\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{(R^2+\omega^2 L^2)(G^2+ \omega^2 C^2)} - (RG-\omega^2LC))}

そして、特性インピーダンスZ_0の実部R_0と虚部X_0を求めると以下のようになる。


Z_0 =
\sqrt{\frac{R+j \omega L}{G+j \omega C}}=
R_0+jX_0

R_0=
\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{\frac{R^2+\omega^2 L^2}{G^2+ \omega^2 C^2}} + \frac{RG+\omega^2 LC}{G^2+ \omega^2 C^2})}

X_0=
\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{\frac{R^2+\omega^2 L^2}{G^2+ \omega^2 C^2}} - \frac{RG+\omega^2 LC}{G^2+ \omega^2 C^2})}

無損失線路[編集]

伝送線路に損失がない場合、R=G=0であり、


Z_0 =
\sqrt{\frac{L}{C}}


\gamma =
\alpha + j \beta =
\sqrt{(j \omega L)(j \omega C)} =
j \omega\sqrt{LC}

となる。

無ひずみ線路[編集]

伝送線路において以下の無ひずみ条件


\frac{R}{L} =\frac{G}{C}

つまり、


RC=LG

を満たすとき、

\alpha=
\sqrt{RG}
\beta=
\omega\sqrt{LC}

となる。

反射現象[編集]

分布定数回路において、伝送線路の特性インピーダンスと伝送線路の終端のインピーダンスが異なるなど、「入射波」に対する「反射波」が存在するとき、位置xにおける反射係数\rho_xは、電圧の場合、入射波をV_{i (x)}、反射波をV_{r (x)}とすると、

\rho_{(x)}=
\frac{V_{r (x)}}{V_{i (x)}}=
\frac{K_2e^{ \gamma x}}{K_1e^{- \gamma x}}=
\frac{Z_{x}-Z_0}{Z_{x}+Z_0}

となる。

特に、伝送線路の終端( x = l )における電圧の反射係数は

\rho_{(l)}=
\frac{V_{r (l)}}{V_{i (l)}}=
\frac{K_2e^{ \gamma l}}{K_1e^{- \gamma l}}=
\frac{Z_{l}-Z_0}{Z_{l}+Z_0}

である。

このとき、伝送路の終端が開放(open)のとき、すなわち Z_l = \infty の場合、 \rho_{(l)} = 1 である。(完全反射)

また、伝送路の終端が短絡(short)のとき、すなわち Z_l = 0 の場合、 \rho_{(l)} = -1 である。(完全反射)

さらに、伝送路の終端が Z_0 で終端のとき、すなわち Z_l = Z_0 の場合、 \rho_{(l)} = 0 である。(インピーダンス整合、反射波なし)

透過現象[編集]

伝送線路のインピーダンスが変化する点などにおいて、反射と透過の現象が起きる。入射してきた波が異なるインピーダンスの伝送線路に透過する波を「透過波」という。

電圧の入射波を V_i 、反射波を V_r 、透過波を V_t 、電流の入射波を I_i 、反射波を I_r 、透過波を I_t とするとき、以下の関係が成り立つ。

V_t = V_i + V_r
I_t = I_i - I_r

また、透過波と入射波の比を、それぞれ電圧透過係数、電流透過係数という。

電圧透過係数は以下である。


\frac{V_t}{V_i} =
\frac{V_i + V_t}{V_i} =
(1 + \rho)

電流透過係数は以下である。


\frac{I_t}{I_i} =
\frac{I_i - I_t}{I_i} =
(1 - \rho)

定在波[編集]

伝送線路に電源をおいて奨励波を発生させ、伝送線路上に入射波と反射波の両方の波が存在するとき、2つの波は互いに干渉しあって合成が起き、伝送線路上には時間に無関係で位置に固有な波ができ、これを「定在波」という。

また、電圧の振幅の最大値と最小値の比を「定在波比」(または「電圧定在波比」)という。定在波比\sigmaは以下で定義される。


\sigma =
\frac{|V_{max}|}{|V_{min}|} =
\frac{1 + |\rho|}{1 - |\rho|}

|\rho|l点における反射係数。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]