重ね合わせ

量子力学

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

不確定性原理

紹介 · 数学的基礎

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重ね合わせ (かさねあわせ、英: superposition) は、量子力学 の基本的な性質である。

定義

量子力学では、系の状態は状態ベクトル$|\psi \rangle$(もしくは波動関数$\psi \$)で記述される。 状態$|\psi_1\rangle \$と別の状態$|\psi_2\rangle \$で次のような状態$|\psi'\rangle \$を作ることができる。

$|\psi'\rangle= c_1 |\psi_1\rangle + c_2 |\psi_2\rangle \$

ここで$c_1 \$, $c_2 \$ は複素数である。 このような状態ベクトルの線形結合を重ね合わせと呼ぶ。

性質

量子力学では、物理量(観測可能量、オブザーバブル) $A \$は状態ベクトル(もしくは波動関数)にはたらくエルミート演算子$\hat{A}$として記述される。

状態$|\psi_1\rangle \$における物理量Aの測定値の平均値は$\langle\psi_1|\hat{A}|\psi_1\rangle$となる。

同様に状態$|\psi_2\rangle \$における物理量Aの測定値の平均値は$\langle\psi_2|\hat{A}|\psi_2\rangle$となる。

量子力学では、重ね合わせて作られた状態$|\psi'\rangle$ における物理量Aの測定値の平均値$\langle\psi'|\hat{A}|\psi'\rangle$は、$\langle\psi_1|\hat{A}|\psi_1\rangle$と$\langle\psi_2|\hat{A}|\psi_2\rangle$の線形結合では表せない。これを「干渉効果」と呼ぶ。

$\langle \psi' | \hat{A} | \psi' \rangle \ne |c_1|^2 \langle \psi_1 | \hat{A} | \psi_1 \rangle + |c_2|^2 \langle \psi_2 | \hat{A}| \psi_2 \rangle$

実際には、「干渉項」と呼ばれる余分な項がついてくる。(次の後半の2項)

$\langle \psi' | \hat{A} | \psi' \rangle = |c_1|^2 \langle \psi_1 | \hat{A} | \psi_1 \rangle + |c_2|^2 \langle \psi_2 | \hat{A}| \psi_2 \rangle + c_1^* c_2 \langle \psi_1 | \hat{A} | \psi_2 \rangle + c_2^* c_1 \langle \psi_2 | \hat{A} | \psi_1 \rangle$

また、古典力学的な局所実在論とは相容れない確率分布を生ずる重ね合わせ状態もある。そのような状態の存在もベルの不等式, Greenberger-Horne-Zeilinger 状態などの考察を通じて実験で検証されている。 また、量子コンピューターではそのような非古典的重ね合わせが積極的に利用しようと試みられている。

重ね合わせと混同しがちなものとして混合状態がある。状態１と状態２を「混合した状態」の期待値は、状態１の期待値と状態２の期待値の線形結合で表せる。つまり混合をした場合は、量子的な干渉が起こらない。また干渉が起こらないような重ね合わせもあり、この場合は重ね合わせによって混合状態ができる。このことを超選択則があるという。

参考文献

• 清水明 『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』 サイエンス社、2004年。ISBN 4-7819-1062-9。

関連項目

• アインシュタイン＝ポドルスキー＝ローゼンのパラドックス
• エルヴィン・シュレーディンガー
• シュレーディンガーの猫
• 観測問題
• 二重スリット実験
• 粒子反粒子振動
• コペンハーゲン解釈
• エヴェレット解釈
• 経路積分