変分原理

変分原理（へんぶんげんり、英語：variational principle）は、変分法を用いた物理学の原理。 特に、

• 幾何光学においては、フェルマーの原理
• 古典力学、電磁気学、量子力学においては、作用次元をもつので、最小作用の原理という。

古典力学の場合

作用積分Iを、

$I = \int_{t_1}^{t_2} L (q, \dot{q}) dt$

とする。Lはラグランジアン、qは一般化座標（時間tの関数でもある）で、$\dot{q} = dq /dt$である。ここで、時刻t₁、t₂において、q(t₁)、q(t₂)は固定されているとする。この作用積分Iに対する変分原理は、作用積分に対する停留値問題を考えることであり、

$\delta I = \delta \int_{t_1}^{t_2} L (q, \dot{q}) dt = 0$

ということに相当する（→最小作用の原理）。変分は汎関数微分（Functional derivative、補足参照）とも言い、一般化座標qとその時間の微分$\dot{q}$を、

$q(t) \rightarrow q(t) + \delta q(t)$

$\dot{q}(t) \rightarrow \dot{q}(t) + \delta \dot{q}(t) = \dot{q}(t) + {d \over {dt}} \delta q(t)$

とδqだけ微小変化させることに相当する。変分におけるこの微小変化は、仮想的な変位を与えることであり、これは時間tとともに物体が運動する過程の上での微小変位dq（またはΔqと書いてもよい。$\dot{q} = dq / dt$は時間tについての微分となる）とは異なった概念である。従って、変分δと時間微分(d/dt)は交換可能である。よって、

$\delta I = \int_{t_1}^{t_2} L (q + \delta q, \dot{q} + \delta \dot{q}) dt - \int_{t_1}^{t_2} L (q, \dot{q}) dt$

$= \int_{t_1}^{t_2} \left( {\partial L \over {\partial {q} } } \delta q + {\partial L \over {\partial {\dot{q}} } } \delta {\dot{q}} \right) dt$

$= \int_{t_1}^{t_2} \left( {\partial L \over {\partial {q} } } \delta q + {\partial L \over {\partial {\dot{q}} } } {d \over {dt}} \delta {q} \right) dt$

$= \left. {\partial L \over {\partial {\dot{q}} } }\delta {q} \right|_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} \left[ {\partial L \over {\partial q} } - {d \over {dt}} \left( {\partial L \over {\partial \dot{q}} } \right) \right] \delta q dt$

となる。最後の式は部分積分により求まる。δq(t₁)=δq(t₂)=0から第一項は０となる。δq(t)（q(t)の微小な変化）に対して、δI = 0であるために、

${\partial L \over {\partial q} } - {d \over {dt}} \left( {\partial L \over {\partial \dot{q}} } \right) = 0$

を得る。これがラグランジュの方程式。同様にして変分原理を幾何光学における、光の反射、屈折の問題（停留値問題）で考えれば、フェルマーの原理が出てくる。

（補足）汎関数微分をより厳密に言えば、関数q(t)の変分δqと、ラグランジアンI(q)（他の変数は省略）の変分、δI[q]の比、δI/δqの極限のことである。

量子力学の場合

本来の意味の変分原理を記す。

『適当な境界条件を持ち、規格化条件

$\left\langle \Psi| \Psi \right\rangle = \int \Psi^* \Psi d \mathbf{r} = 1$

を満たす任意の波動関数$\left. \Psi \right.$に対するハミルトニアン$\hat{H}$の期待値 $\left. E \right.$ は、基底状態のエネルギー $\left. E_0 \right.$ よりも常に大きい。

$E[\Psi]=\left\langle \Psi|H| \Psi \right\rangle=\int \Psi^* \hat{H} \Psi d \mathbf{r} \geq E_0$

等号は、その波動関数が基底状態の波動関数$\left. \Psi_0 \right.$と等しい場合に成り立つ。』

この原理によって、もしも波動関数$\left. \Psi \right.$を様々に変化させたとき、それらに対するハミルトニアンの期待値 $\left. E \right.$ の最小値が基底状態のエネルギー$\left. E_0 \right.$である事が保証され、そのときの$\left. \Psi \right.$が基底状態であると言える。そのため、もしも基底状態とそのときのエネルギー値を求めたいのであれば、変分法によってハミルトニアン期待値 $\left. E \right.$ の停留値を求めればよい事になる。変分原理を利用したこの手法を指して「変分原理」と言われる事も多い。

系は定常状態にあるとし、規格化条件

$\int \Psi^* \Psi d \mathbf{r} = 1$

から、$\left\langle \Psi|\hat{H}| \Psi \right\rangle$の停留値問題は、

$\delta E = \delta \int \Psi^* \hat{H} \Psi d \mathbf{r} = 0$

となる。Ψは系の固有関数（＝波動関数）、Hはハミルトニアン、Eはエネルギー固有値（場合により全エネルギーと考えても良い）である。この固有関数Ψを微小変化（δΨ）させて、Eの極値（停留値）を求める。

変分原理は、以上のように積分の形として扱うので、座標系の取り方に依存しない。従って拡張性に優れ、いろいろな分野に応用、利用される。

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