自由場

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場の量子論
Feynmann Diagram Gluon Radiation.svg
(ファインマン・ダイアグラム)
歴史

物理学では、自由場とは、相互作用のないのことを言い、運動項と質量項により記述される。

記述[編集]

古典物理学では、自由場(free field)は、場の運動方程式線型偏微分方程式(PDE)によって与えられる場合を言う。そのような線型偏微分方程式は、初期条件を与えられると一意の解をもつ。

場の量子論では、作用素に値を持つ超函数(operator valued distribution)が自由場であるということは、同じ古典場(つまり作用素ではない)に対応する同じ線型偏微分方程式の場合があり、二次多項式ラグラジアンについてのオイラー=ラグランジュ方程式(Euler-Lagrange equation)となっている線型PDEを満たすような場のことを言う。この超函数の微分を、テスト函数の微分と定義することが可能である。詳細はシュワルツ超函数(Schwartz distribution)を参照。通常の超函数を扱うのではなく、作用素に値を持つ超函数を扱うので、これらの線型PDEは、状態により拘束されているのではなく、代わりに乱された場の間の関係式により記述されている。線型PDEとは別に、作用素も、交換/反交換関係式(commutation/anticommutation relation)を満たす。

標準交換関係[編集]

基本的に、乱された場の交換関係ボゾンに対して、反交換関係フェルミオンに対して与えられ、双方のテスト函数の上を渡るPDEの(実際は函数ではなく、超函数の)場のペイエールのブラケット英語版(Peierls bracket)の i 倍である。これはCCR/CAR代数英語版(CCR/CAR algebra)の形を持っている。

無限自由度を持つCCR/CAR代数は、多くの非同値な既約なユニタリ表現を持っている。理論をミンコフスキー空間上で定義しようとすると、いつも必要なわけではないが、真空状態を持っているユニタリな既約上限を選ぶ必要がある。

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φ を作用素に値を持つ超函数とし、(クライン・ゴルドン)偏微分方程式を

\partial^\mu \partial_\mu \phi+m^2 \phi^2=0.

とする。これはボゾン場である。この超函数をペイエールのブラケット(Peierls bracket) Δ により与えられた超函数と言う。すると、

\{\phi(x),\phi(y)\}=\Delta(x;y)

となる。ここに、φ は古典場で {,}(コンマ)ペイエールのブラケットである。

すると、標準交換関係(CCR)は、

[\phi[f],\phi[g]]=i\Delta[f,g] \,.

である。Δ が 2つの引数を持つ超函数であるので、乱されることがある。

同じことであるが、次の式も強調しておく。

\mathcal{T}\{[((\partial^\mu \partial_\mu+m^2)\phi)[f],\phi[g]]\}=-i\int d^dx f(x)g(x)

ここに \mathcal{T}時間順序積作用素で、f と g のサポートは空間的に(spacelike)に分離されていると

[\phi[f],\phi[g]]=0

となる。

参照項目[編集]

参考文献[編集]

  • Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley, Reading, 1995. p19-p29