大統一理論

大統一理論（だいとういつりろん; Grand Unification Theory あるいは Grand Unified Theory; GUT）とは電磁相互作用と弱い相互作用は電弱統一理論としてシェルドン・グラショウ、スティーヴン・ワインバーグ、アブドゥス・サラムにより完成されている。現在、一定の成功をおさめている標準模型は、ゲージ群 G_s=SU(3)×SU(2)×U(1) に対するゲージ理論であり、大統一理論は基本的にこのゲージ群を含む更に大きなゲージ群に対するゲージ理論である。

概要

自然界にある4つの根本的な力は、宇宙の始まりに存在した１種類の力だけで、その後分かれたという考え方から、4つの力を一つの式で表して統一しようという理論の一つである。大統一理論は「電磁相互作用、弱い相互作用、強い相互作用、重力」のうちで前者3つを、一つの理論（式）に統一しようとしている。歴史はマックスウェルによる場の方程式による電磁場理論によって、電気と磁気が統一されたことから始まる。アインシュタインの一般相対性理論に大きな影響を及ぼし、「統一場理論」への夢につながった。その後電磁相互作用と弱い相互作用が統一された。その後作られたこの理論は、3つめの「強い相互作用」も統一しようとしう理論である。「ゲージ変換」という、ある式にある操作を施しても対称性（ゲージ対称性）が保たれるという数学的手法を使い、知られている性質を説明し未知の性質を予言して検証することによって理論を確認しようとしている。標準理論では説明できない現象を説明しようとして作られたこの理論は、ビッグバン理論（インフレーション宇宙）の基礎となっているため、様々な検証がおこなわれている。カミオカンデの実験により最初の大統一理論は否定され、超対称性という概念を加えた新しい大統一理論を検証の対象としている。一つは東京大学の森俊則教授の率いる日本・スイス・イタリア・ロシア・米国の国際チームがスイス・ポールシェラー研究所で行っているのが、ミュー粒子が崩壊して電子とガンマ線になること（μ→eγ（ミューイーガンマ）崩壊）を観測する実験である。標準理論では起こらないが、大統一理論では数千億から数兆分の一の確率で起こることが予想されていた。2011年9月に発表された5年間の5千億個の実験による中間報告では発見できなかったため、実験を2年間継続し10兆個のミュー粒子で検証する。ミュー粒子の崩壊を発見できない場合、大統一理論は修正する必要が出てきて、さらにビッグバン理論は成立せず、宇宙の起源に対する新たな理論の構築が求められる。

SU(5)

G_s はランク4で、大統一理論の最小モデルとしてはランク4の SU(5)モデルが考えられる。G_s は次元が 8+3+1=12 で、SU(5)の次元は24である。

$SU(5)\supset SU(3)\times SU(2)\times U(1)$

表現	粒子名	記号
(1, 2)-1/2	レプトン	L
(1, 1)+1	反荷電レプトン	lc
(3, 2)-1/2	クォーク	Q
(3*, 1)-2/3	上系列反クォーク	uc
(3*, 1)+1/3	下系列反クォーク	dc

フェルミオン

$\overline{\mathbf{5}} =(\overline{\mathbf{3}}, \mathbf{1})_{+1/3} +(\mathbf{1}, \mathbf{2})_{-1/2}$

$\mathbf{10} =(\mathbf{3}, \mathbf{2})_{+1/6} +(\overline{\mathbf{3}}, \mathbf{1})_{-2/3} +(\mathbf{1}, \mathbf{1})_{+1}$

ゲージボソン

$\mathbf{24} =(\mathbf{8}, \mathbf{1}) +(\mathbf{1}, \mathbf{3}) +(\mathbf{1}, \mathbf{1}) +(\mathbf{3}, \mathbf{2}) +(\overline{\mathbf{3}}, \mathbf{2})$

この理論ではいくつかのことが予言されている。陽子崩壊現象、磁気単極子や宇宙ひもの存在がこれにあたる。 但し、陽子崩壊の予言は観測と食い違っており、従って単純な SU(5)GUT は排除されている。

SU(5)モデルによる陽子の寿命は10³⁰ - 10³²年であるが、神岡鉱山のカミオカンデ・スーパーカミオカンデにおける実験結果では陽子崩壊が観測されず、実際の寿命はそれ以上、少なくとも10³⁴年はあり、大きくくい違っている。

SUSY SU(5)

SU(5)大統一理論に超対称性と呼ばれる要素を加えた超対称大統一理論では陽子の寿命はさらに延びることになり、実験結果を説明できる可能性がある。

SO(10)

SU(5)モデルでは右巻きニュートリノの存在は必然ではないが、SO(10)モデルでは、右巻きニュートリノが必然的に含まれる。力の統一が起きるエネルギースケール程度のマヨラナ質量を右巻きニュートリノが持てば、シーソー機構により、ニュートリノが他の粒子に比べてゼロでないが極端に小さい質量を持つ事が説明できる。

SO(10)では1世代分のフェルミオン（右巻きニュートリノも含む）が1つの多重項にまとまる。

$\mathbf{16}=\mathbf{10}+\overline{\mathbf{5}}+\mathbf{1}$

E₆, E₇及びE₈

リー群の言葉では、SU(5)及びSO(10)は古典型の単純リー群でそれぞれ A₄, D₅ と呼ばれるが、例外型の単純リー群のE系列 E₆, E₇, E₈ の自然な拡張として、

$E_8 \supset E_7 \supset E_6 \supset E_5=D_5=SO(10) \supset E_4=A_4=SU(5) \supset E_3=SU(3)\times SU(2)$

と見ることが出来る。これらE系列の例外群をゲージ群とするゲージ理論も大統一理論の候補として考えられている。

特に E₈ はこの系列では最も大きなリー群でそれ以上の拡張が出来ないことや、 超弦理論との関連もあり、また SO(10) の1世代分のフェルミオン多重項を3つ分含み、3世代の繰り返しとの関連性なども考えられている。E₈理論からは、加えて重力場を導出する事も可能であり、An Exceptionally Simple Theory of Everythingという超統一理論のモデルが提案されている。

参考

• 標準模型