等長写像

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数学、とくに幾何学において等長写像(とうちょうしゃぞう)または等距離写像(とうきょりしゃぞう)とは、"長さ" を変えない(距離を保つ、distance preserving)写像のことである。全単射であるものに限って等長写像 (isometry) という場合もある。

定義[編集]

距離空間 (X, d) の任意の元を x, y とする(d は距離関数)。このとき、X から別の距離空間 ( X' , d' ) への写像 f が、

d(x, y) = d' (f(x), f(y))

なる関係を満たすとき、写像 f距離を保つ、あるいは f等長写像であるという。定義から、等長写像が単射であることはすぐに分かる。

距離空間 X, Y の間に距離を保つ全単射 (isometry) が存在するとき、XY は距離空間として等長 (isometric) であるという。また、距離空間 X からそれ自身への距離を保つ全単射を X 上の等長変換という。X 上の等長変換の全体は群を成し、それを X等長変換群とよぶ。

定義をノルム空間に適用すると、ベクトル空間 X におけるノルムを || · ||X で表すとき、写像 f: XX' が等長写像であるための条件は

||x - y||X = ||f(x) - f(y)||X'

となる。特に f線形写像ならばこれは ||x||X = ||f(x)||X' と同じである。

計量[編集]

以下では X をノルム空間とする。X の部分集合 W に対して、f(W):= {f(x) | xW} とする。X 内の二つの部分集合 C, C' に対し、等長写像 f が存在して f( C' ) = C が言えるとき、CC'合同であるという。また、aC:= {ax | xC} としたとき、ある正数 k が存在して f( C' ) = kC がいえれば、CC'相似であるという。

X がさらに計量ベクトル空間であって、||x|| = <x, x>1/2 であり、f線形変換ならば、f内積を変えない。これは次のようにして分かる。X の元 x, y に対し、内積の実部に関して

\Re\langle f(x),f(y) \rangle 
  = \frac{1}{2}(||f(x)+f(y)||^2 - ||f(x)||^2 - ||f(y)||^2)
= \frac{1}{2}(||x+y||^2-||x||^2-||y||^2)
=\Re\langle x,y \rangle

となる。虚部が等しいことは、x を -ix に置き換えると <-ix, y> の実部が <x, y> の虚部に等しいことから確かめられる。逆に内積を保てばもちろん等長写像になる。

直交変換・ユニタリ変換[編集]

X実ベクトル空間であるとき、線形な等長変換として直交変換が対応する。これは直交行列 T を用いて Tx と書くことができる。複素ベクトル空間では同様な写像にユニタリ変換(およびその行列表現としてのユニタリ行列)が対応する。

一般に、実ベクトル空間内の等長写像は直交行列 T とあるベクトル a を用いて Tx + a と書くことができる(アフィン変換)。このうち、|T| = 1であるものを特にユークリッドの運動と呼ぶ。これは "回転"・"平行移動" の二つを合成してできるものである。上述の通り、等長写像はユークリッド空間の図形の間の合同をもたらすが、さらに一般に、リーマン多様体の間の等長写像(各点の微分が等長写像になるというように定義される。詳しい方の加筆を求む!)はその構造をすべて保存する。このような等長写像は運動と呼ばれ、運動の全体はあるをなす。

関連項目[編集]