有向点族

有向点族（ゆうこうてんぞく、directed family of points）あるいはネット (net) とは、点列を一般化した概念で、有向点列や Moore-Smith 列などとも呼ばれる。この概念は一般の位相空間における極限概念を与え、統一的に論じるために導入された。点列の極限が距離空間のような第一可算公理を満たす位相空間において定義されるのに対して、有向点族の極限は任意の位相空間において定義することができる。

列は通常、全順序をもつ自然数の集合によって添字付けられるのに対し、有向点族では、添字集合として有向集合にまで順序関係を弱めることによって列の概念の一般化を与えている。

有向点族の概念を最初に導入したのはムーア (Eliakim Hastings Moore) とスミス (H. L. Smith) で1922年のことである。フィルターと呼ばれる有向点族と同値な概念が1937年にアンリ・カルタンによって生み出された。

定義

X を位相空間とする。X における有向点族とは、ある有向集合 A から X への写像のことである。これをしばしば (x_α)_α∈A あるいは簡単に (x_α) のように記して、有向集合 A で添字付けられる有向点族などと呼ぶ。これは A の元 α が X の元 x_α に写されるという意味を表している。A に与えられている二項関係（順序関係）を表すのに通常、≥ を用いる。

例

自然数の全体に通常の大小関係で順序を入れたものは有向集合であり、点列とは自然数全体の成す集合上の写像であるので、任意の列は有向点族である。

もう一つの重要な例は以下のようなものである。位相空間において点 x をとり、N_x で x の全近傍の成す集合を表す。このとき、集合の包含関係と逆に向きを入れて N_x は有向集合となる。つまり S ≥ T を S が T に含まれることと定義する。N_x の元 S に対し x_S をS の点とすると (x_S) は有向点族である。S が ≥ に関して増加するのに従い、 有向点族の点 x_S は x のより小さな近傍系の中にあるように制限を受ける。 したがって直観的に、x_S は何らかの意味で x に向かって収束していなければならないという考えが導かれる。そしてこの極限概念は正確に定義することができる。

有向点族の極限

(x_α) が有向集合 A で添字つけられる X 内の有向点族で、Y を X の部分集合とする。このとき、β ≥ α なる全ての A の元 β に対して x_β が Y に含まれるような A の元 α が存在するならば、(x_α) は Y にほとんど含まれる (eventually in) という。

(x_α) を位相空間 X における有向点族とし、x を X の元とする。 ここで

x のどんな近傍 U に対しても、(x_α) がほとんど U に含まれる

という条件が成り立つとき、この有向点族は x に収束するとか、極限 x をもつといい、

lim x_α = x

と記す。直観的にはこれは、十分大きな α に対しては、x のどれほど近くにでも x_α を近づけ、留まらせることができるということを意味する。

この定義に従えば、上で与えた x の近傍系の成す有向点族の例は、実際に x 収束するということに注意。

極限の例

• 点列の極限

• 実変数関数の極限： lim_x→c f(x)。ここでは実数の全体 R から一点 {c} を除いた集合上での向きを、c までの距離にしたがって定義してある。

• リーマン積分の定義におけるリーマン和の成す有向点列の極限。この例において考える有向集合は、積分区間の全ての分割が成す集合に包含関係が定める半順序で向きを入れたものである。リーマン-スティルチェス積分においても同様のことを考えることができる。

諸定義

D と E を有向集合、h を D から E への写像とする。E の各元 e に対して、D の元 d で q ≥ d なる D の元 q に対しては h(q) ≥ e が満たされるようなものがとれるとき、h は共終 (cofinal) であるという。

D, E が有向集合で、h を D から E への共終な写像とし、φ を集合 X 上の E を添字集合とする有向点族とする。このとき、有向点族 φ の部分有向点族とは、写像の合成 $\varphi \circ h$ の形で得られる有向点族のことである。

φ は有向集合 D で添字付けられる X 内の有向点族とし、A を X の部分集合とする。ここで、D の各元 α に対して、D の元 β で、β ≥ α で φ(β) が A に含まれるものが存在するならば、有向点族 φ は A に無限に含まれる (frequently in) という。

X 内の有向点族 φ は、X の各部分集合 A に対して、φ が A にほとんど含まれるとき、あるいは φ が A の X における補集合にほとんど含まれるとき、普遍 (universal) あるいは完全であるという。

性質

位相幾何学におけるほとんどの概念を、有向点族と極限の言葉で言い直すことができる。有向点族における極限の概念は、距離空間で広く用いられる点列の極限の概念とよく似ているので、このような言い直しは直観を導くのに有用である。

位相空間の間の写像 f : X → Y が点 x で連続であることと、

lim x_α = x

なる任意の有向点族 (x_α)に対して

lim f(x_α) = f(x)

となることとは同値である。ここで、「有向点族」を「点列」に書き換えたものは一般には正しくないことに注意。X が第一可算公理を満たさないならば、自然数全体の成す集合より多くの有向集合を考慮する必要がある。

一般に、空間 X 内の有向点族は一つより多くの極限を持つことがある。X がハウスドルフ空間ならば、有向点族の極限は、存在するならば唯一つである。逆に、X がハウスドルフでないならば、二つの相異なる極限を持つ X 内の有向点族が存在する。

U を X の部分集合とする。点 x が U の閉包に含まれることと、x に収束する有向点族 (x_α) で全ての α に対する x_α が U に含まれるものが存在することとは同値である。

特に、U が閉であることと、U に含まれる元からなる有向点族 (x_α) の極限が常に U に属すこととは同値である。

ある有向点族が極限をもつことと、その任意の部分有向点族が極限を持つこととは同値である。

空間 X がコンパクトであることと、X に含まれる任意の有向点族 (x_α) が収束する部分有向点族を X 内に持つこととは同値である。これはボルツァノ-ワイエルシュトラスの定理とハイネ-ボレルの被覆定理の一般化と考えられる。

距離空間あるいは一様空間においては、コーシー列とほぼ同様にしてコーシーネットを論じることができる。この概念はコーシー空間にまで一般化することができる。

関連項目

• フィルター (数学)

参考文献

• E. H. Moore and H. L. Smith (1922). A General Theory of Limits. American Journal of Mathematics 44 (2), 102–121.