ボホナー空間

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数学の分野におけるボホナー空間(ボホナーせきぶん、: Bochner space)とは、必ずしも実数の空間 R あるいは複素数の空間 C とは限らないバナッハ空間に値を取る関数への、Lp空間の概念の一般化である。

ボホナー空間 Lp(X) は、バナッハ空間 X に値を取るボホナー可測関数 f で、そのノルム ||f||X が通常の Lp 空間に属するようなもの全ての同値類からなる。したがって、X が複素数の集合であるなら、ボホナー空間は通常のルベーグ空間 Lp となる。

Lp 空間に関するほとんど全ての結果は、ボホナー空間についても同様に得られる。特に、ボホナー空間 Lp(X)1\le p\le \infty に対してバナッハ空間である。

背景[編集]

ボホナー空間は、ポーランドアメリカ人数学者サロモン・ボホナー英語版の名にちなむ。

応用[編集]

ボホナー空間は、時間依存の偏微分方程式、例えば熱方程式の研究へのアプローチとしての関数解析学において、しばしば用いられる。温度 g(t,x) が時間および空間についてのスカラー関数であるとき、(f(t))(x):=g(t,x) と書くことで、f を時間についての関数とし、f(t) を空間についての関数とすることが、いくつかのボホナー空間においては可能となる。

定義[編集]

測度空間 (T, Σ, μ)、バナッハ空間 (X, || · ||X) および 1 ≤ p ≤ +∞ が与えられたとき、ボホナー空間 Lp(TX) は、対応するノルムが有限であるような全ての可測関数 u : T → X の空間の(等号はほとんど至る所についてのものであるような)コルモゴロフ商として定義される。すなわち、そのような u に対しては

\| u \|_{L^{p} (T; X)} := \left( \int_{T} \| u(t) \|_{X}^{p} \, \mathrm{d} \mu (t) \right)^{1/p} < + \infty \mbox{ for } 1 \leq p < \infty,
\| u \|_{L^{\infty} (T; X)} := \mathrm{ess\,sup}_{t \in T} \| u(t) \|_{X} < + \infty

が成立する。言い換えると、Lp 空間の研究においてよくあるように、Lp(TX) は関数の同値類であって、そこでは二つの関数が等しいとは、Tμ-測度ゼロの部分集合を除いた至る所でそれらが等しいことを言う。そのような空間の研究においてよくあるように、それは(より技術的には正しい)同値類と言うよりは、Lp(TX) の「関数」と言う記号の濫用英語版がよく見受けられる。

PDE理論への応用[編集]

空間 T は偏微分方程式を解こうとしている時間区間で、μ は一次元ルベーグ測度であるようなことが頻繁にある。ここでのアイデアは、時間および空間の関数を、空間の関数の集まりと見なし、その集まりが時間についてパラメータ付けられるものとすることである。例えば、Rn 内の領域 Ω および時間区間 [0, T] 上の熱方程式の解としては、

u \in L^{2} \left( [0, T]; H_{0}^{1} (\Omega) \right)

および時間微分が

\frac{\partial u}{\partial t} \in L^{2} \left( [0, T]; H^{- 1} (\Omega) \right)

であるようなものを探すであろう。ここで H_{0}^{1} (\Omega) は、一回弱微分可能でその一回弱微分が L²(Ω) に属し、Ω の境界上で(トレースの意味で)消失するような関数からなるソボレフヒルベルト空間を表す。あるいはそのような関数は、Ω にコンパクトを持つような滑らかな関数の極限でもある。H^{-1} (\Omega)H_{0}^{1} (\Omega)双対空間を表す。

(ボホナー空間を使うことで空間依存性は除かれるため、上記の時間 t についての偏微分は実際には全微分である。)

参考文献[編集]

  • Evans, Lawrence C. (1998). Partial differential equations. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2. 

関連項目[編集]