算数
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算数（さんすう、elementary mathematics）は
この項では便宜を考慮して各国の初等教育（中でも小学校に相当する学校）における、算数に相当する教科について広く解説する。
目次 |
[編集] 概説
日本では、この教科は「算数」と呼ばれている。
中国・台湾・韓国・北朝鮮では、「算数」ではなく「小学数学」と呼ばれている。
国ごとに、教える内容や、教え方、教科書のあり方などに相違点がある。
例えば、日本では掛け算に関して、「九九」すなわち9X9の数表を教え、暗記させているが、インドでは「20x20」（19x19）の数表を当たり前のように教え暗記させている。
また、日本では「2+3=□」というタイプの、答えが基本的にはひとつしかないような課題が主として出されるのに対して、イギリスでは初期の段階から「□+□=5」といったような課題を頻繁に提示し、答えがひとつではなく複数あり、様々な数学的な発想・探求へといざなうような教育がされる。
[編集] 「算数」という語の由来
中国、前漢時代についての史書『漢書』律暦志に「數者一十百千萬也 所以算數事物 順性命之理也」とある。次に紀元前1世紀の『周髀算經』が知られている。また1983年12月 - 1984年1月にかけて湖北省江陵県（現荊州市荊州区）にある前漢時代の張家山西漢墓の発掘調査から竹簡『算數書』が発見されている。その内容は乗法などの問題集で後の『九章算術』に影響したのではないかと推測されている。よって「算数」はこの時代に使用が広まったものと推測される。すなわち、算数、算術、数学の用語のうち、現在見つかっている最古の語は「算数」である。日本における教科名としては、算術に代わって1941年より用いられている。
中国では現在、「算数」とは数学の源流的なものを指す、という。
[編集] 日本の算数
数学の入門編[要出典]とも位置付けられる。算数と数学は名称は異なるものの、つながりのある教科であり、本質的な違いはない[1][要出典]、という。
ただし、中学校以降の数学がやや観念的、抽象的であったり、専門的な職業で用いるような応用をにらんだカリキュラムになっている[2]のに対し、小学校の算数は「日常の事象について見通しをもち筋道を立てて考える能力を育てるとともに、活動の楽しさや数理的な処理のよさに気付き、進んで生活に生かそうとする態度を育む」[3]ことが目指される。
計算の反復練習が重要なことや、問題を制限時間内にこなすために集中力や持続力を育てる必要等から、しつけとしての役割もある[要出典]、と述べる教育者もいる。それに対して、算数の目的はしつけや我慢にあるわけではない[要出典]、と述べる人もいるという。
[編集] 形式陶冶説と実質陶冶説
古くから日本の算数の目的としては「形式陶冶説」がとられていた[要出典]、とされる。形式陶冶とは、実際的な知識や技能の獲得を主な目的とするのではなく、学ぶ過程から心的能力を育てることを目標とする考え方である。算数については、これを学ぶことで「学んだ問題が解けるようになるだけでなく、広く、思考力が高まる[要出典]」ともされてきた。 しかし、これには異論もあり、例えばエドワード・ソーンダイクは実験により、学習転移は狭い範囲に限られることを確かめた[要出典]、と述べたという。与えられた、予め答えが決まっている問題解きを繰り返しても、その限られた狭い周辺の問題が解けるようになることはあっても、広い意味の思考力はつかない[要出典]、というのである。
その後も形式陶冶の考え方は根強いが、実際的な学習効果を重視する「実質陶冶」の考え方も強くなってきている[要出典]、ともされる。
[編集] 現在の日本の小学校の算数の学習内容
（2009年の時点）
[編集] 数の概念
[編集] 計算
[編集] 図形（ユークリッド幾何学）
[編集] 計量、単位
[編集] 統計など
[編集] 中学入試における受験算数の内容
中学校では方程式を指導する際に、方程式を立てさえすれば、あとは意味を考えなくても自動的に答えが出るとして、方程式の有用性を強調し、それにふさわしい問題を演習する。しかし、中学入試では最後まで意味をひきずって解かなければならない問題が多く、方程式を使うとかえって分かりにくくなる場合がある。
大学入試でも、入試を念入りに工夫して出題する難関大学では、積分などの文字式の単純計算や、はじめに式を立てさえすればあとは一直線で解けるという問題はほとんど出ないため、将来難関大学を目指す児童の中には、中学受験をしなくても受験算数に取り組む場合もある。実際、受験算数は難関大学の入試問題を小学生向けに翻訳したものと見られるものもある[4]。
ただし、ある数を「1」と仮定し、それを日数や人数などの乗除でのべ量を出して考えることや、比と実際の数量の関係を利用した相当算とよばれる方法は、方程式ではないが、それに近い計算法（逆算）が必要とされる[5]。また、数量の比を直線で表した線分図や二つの数の積の関係を長方形の面積に変えて考える面積図（例えば一人当たりの分配量と人数の積は分配すべきものの総量となるが、これを長方形の2辺と面積に置き換える）もよく使われる。また、後述のように素因数分解、N進法、相似比と面積比などのように中等教育内容も一部登場する。
中学入試における受験算数においては、次のような応用問題が多く出題される。
[編集] 文章題
[編集] 数論
- 整数の性質
整数の性質に分類は広範であるが、代表的なものは、公約数や公倍数に関する問題である。さらに、整数に関して素因数分解の結果に関連する問題も多い。
★例1★
3で割っても5で割っても割り切れる2桁の数のうち最大のものはいくつですか。
■解法■
3と5の最小公倍数15の倍数のうち、2桁の大きい数を求める。 99＝15×6＋9であるから、15×6＝90
■答え■90
★例2★
3で割っても、5で割っても1余る2桁の数のうち最小のものはいくつですか。
■解法■
3と5の最小公倍数15の倍数のうち、2桁の最も小さい数に1を加える。 15＋1＝16
■答え■16
(注意) この問題で、もし「2桁の」が無ければ答えは 1 となる。
★例3★
3で割ると1余り、5で割ると3余り、7で割ると5余る数のうち最小のものはいくつですか。
■解法■
各数の公倍数より2少ないことに着眼して、3と5と7の最小公倍数105の倍数から2をひく。 105－2＝103
■答え■103
★例4★
1から100までの整数をすべてかけた積を3で割る計算を繰り返していくとき、答えがはじめて整数でなくなるのは何回目の計算か。
■解法■
1から100までに、3の倍数は33個。9(3の2乗)の倍数は11個。27(3の3乗)の倍数は3個。81(3の4乗)の倍数は1個ある。よって33＋11＋3＋1＝48より、48回目まで割り切れることがわかる。
■答え■49
その他
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- 所与の長方形を並べて、最小の正方形を作る問題
- 所与の長方形を、最大の正方形で敷き詰める問題
- 所与の複数の分数に、同じ分数をかけたときに、いずれも整数になるような、かける最小の分数を求める問題
- ユークリッドの互除法の問題
- 約束記号
約束記号の問題には大きく分けて2つの型がある。1つは、関数であり、もう1つは演算と呼ばれる。 演算は2変数関数とも見られるが、2変数関数ということばは余り使われない。
★関数の例★
1 から n までの整数を加えた数を ＜n＞ と表すことにします。たとえば、＜4＞＝1＋2＋3＋4＝10 です。このとき、＜10＞ を求めなさい。
■解法■
＜10＞＝1＋2＋3＋4＋・・・＋10＝55
■答え■55
★演算の例★
A☆B＝A×2＋B と表すことにします。たとえば、3☆8＝3×2＋8＝14 です。このとき、5☆10 を求めなさい。
■解法■
5☆10＝5×2＋10＝20
■答え■20
[編集] 割合に関する問題
[編集] 速さに関する問題
- 大地から見た速さどうしをたしひきして得られる速さは、大地から見た速さではない。
- 流水算における速さは
- 上りの速さ＝静水時の速さ－流れの速さ
- 下りの速さ＝静水時の速さ＋流れの速さ
- であるが、ここで、上りの速さや下りの速さや流れの速さは「大地から見た速さ」であり、静水時の速さは「流れる水から見た速さ」である。
- 旅人算における速さは
- A, Bが同方向に進む場合 隔たりの変化の速さ＝ABの速さの差
- A, Bが反対方向に進む場合 隔たりの変化の速さ＝ABの速さの和
- であるが、A, Bの速さは大地から見た速さであり、隔たりの変化の速さは、「大地から見た速さ」ではなく、互いに他から見た「相対的な隔たりの変化の速さ」である。
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- 通過算とは列車が、鉄橋や、トンネルなど、列車の長さと比べて無視できない長さの静物を通過する際の通過の時間などに関する問題であるのに対し、通過旅人算とは列車どうしの通過など、動くものどうしの通過であり、旅人算の応用に入る。
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- 流れの上で、船同士の追いつきや出会いなどに関する問題。流れのかわりに、エスカレータや動く歩道が題材になることもある。旅人算の応用に入る。
[編集] 平面図形
[編集] 空間図形
[編集] 出典 ・ 注
- ^ 例えば、高学年で木の葉や湖の面積を求める問題が出されることがあるが、これを積分のもっとも原始的な方法であるとりつくし法で解くことを学ぶ（無論、本来のとりつくし法に比べて簡略化されている）。また、後述する逆算は教科「数学」で正負の数を学んだ後は移項として進められる。
- ^ 中学校学習指導要領の「目標」では「数量、図形などに関する基礎的な概念や原理・法則の理解を深め、数学的な表現や処理の仕方を習得し、事象を数理的に考察する能力を高めるとともに、数学的活動の楽しさ、数学的な見方や考え方のよさを知り、それらを進んで活用する態度を育てる」とある。http://www.mext.go.jp/b_menu/shuppan/sonota/990301c/990301m.htm
- ^ 文部科学省 小学校指導要領「目標」よりhttp://www.mext.go.jp/b_menu/shuppan/sonota/990301b/990301g.htm
- ^ 三角形の辺の比を求める場合、大学入試の問題のように三角比を用いなくとも、合同や相似を利用して解けるようにしていることなどがある。また、大学入試の順列や組み合わせは意味さえ理解できれば小学生でも解けるものがある（芳沢光雄著『算数・数学が得意になる本』（講談社現代新書）163頁より）。
- ^ 方程式は未知数を文字に置き換えるが、前述の方法はいずれも「1」と実際の数量との関係で考える。相当算などはよけいなものを加法と減法で消したり、乗除により「1」を求める逆算の方法がとられるが、方程式では移項を行なう。なお、小学校では負の数や文字の演算を学ばないので移項できない。具体例としては3x-a-b=xは教科「数学」では左辺をx+（-a）+（-b）と解し、加法の交換法則より（-a）+（-b）を先に足し算したうえで、x-（a+b）として-（a+b）を移項できるが、負の数の加法を学ばない算数ではこの作業ができない。あくまで両辺にaとbを足すほかない。また3x-x=2xという文字式の演算を習わないため原則として未知数同士の計算ができない（参考書や塾のテキストでは分配法則が扱われているので、これを利用してx（3-1）=2xと計算することはできる）。逆算では、a=bならばa+c=b+c、a-c=b-c、ac=bc、a/c=b/c（cは0ではない）が成り立つという計算規則を適用することで、未知数たる四角や「1」の具体的な量が求められると説明される。
[編集] 関連項目
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この「算数」は、教育に関連した書きかけ項目です。この記事を加筆、訂正などして下さる協力者を求めています（P:教育）。 |
