KdV方程式

KdV方程式(-ほうていしき、KdV equation)、もしくはコルトヴェーグ・ドフリース方程式とは、非線形波動を記述する非線形偏微分方程式の一つである。ソリトン解を有する可積分系の代表的な例として知られる。方程式の名前は、定式化を行ったコルトヴェーグ(D. J. Korteweg)とド・フリース(G. deVries)に因む。

概要

時間変数t と空間変数x をもつ一次元実数値関数u (x, t )に対して、

$u_{t} + 6uu_{x}+u_{xxx}=0 \,$

で与えられる非線形偏微分方程式をKdV方程式という。ここで、右下の添え字は各変数に対する偏微分を表す。

KdV方程式は、浅水波などの非線形波動現象を記述する。

KdV方程式の一般的な解法としては、逆散乱法や広田の直接法が存在する。

非線形項・分散項

KdV方程式の第二項u u_xを非線形項、第三項u_xxxを分散項という。 KdV方程式は非線形項と分散項が釣り合うため、波が形を崩すことなく伝播する。

その他の表示

KdV方程式の係数のとり方はいくつかの流儀が存在するが、いずれも適当な変数変換の下で、互いに移り変われる。例えば、u → −u　なる変換による

$u_{t} - 6uu_{x}+u_{xxx}=0 \,$

やu → u /6　なる変換による

$u_{t} + u u_{x}+u_{xxx}=0 \,$

もよく用いられる。

歴史的背景

KdV方程式の研究の歴史は、1834年、造船技師J・スコット・ラッセル（John Scott Russell）がエジンバラ郊外の運河で孤立波を観察したことに遡る。彼は運河のそばで馬に乗っているときに、孤立波が運河を伝播する様子を偶然、目撃した。彼はその時の状況を次のように記している。

「私は2頭の馬に引かれたボートが、狭い運河を進む動きを観察していた。ボートはにわかに止まったが、動いていた運河の水はそうならなかった。水が船の舳先の周りに急激に集まり、突然そこを離れ、すごい速さでうねり進んでいった。孤立した水の盛り上がりは、丸みをおび、滑らかな、はっきりとした水の集まりであり、それが見たところ形や速度を変えることなく、運河に沿って進んでいった。私は馬の背に乗って追いかけたが、波は時速8～9マイルで進み続け、元の約30フィートの幅と約1～1.5フィートの高さを保っていた。その高さは徐々に減少していき、私は1～2マイルの追いかけた後、運河の曲がり角で見失った。1834年の8月、そのような特異であるが美しい現象に、私が偶然出会った最初の機会であった。」

造船技師かつ流体力学の研究者であった彼は、実験用の水槽を作り、研究を進めた。そして、次の結果を得た。

• 浅水波の伝播において、孤立波（永久型の長波）が存在する。
• 一定水深の水路において、孤立波の速度は

$v=\sqrt{g(h+\eta)}$

で与えられる。ここでgは重力加速度、ηは静止した状態の流体水面から測った波の高さ、hは静止流体の深さである。この研究結果は、ケルヴィン卿、ストークス、ブジネク、エアリーといった当時の科学者の間で、孤立波の存在についての大きな論争を起こした。特にエアリーは孤立波の存在に否定的であった。孤立波の存在に最終決着がつくのは、スコットラッセルの観測から60年経った後であった。

1895年、コルトヴェーグ(D. J. Korteweg)とド・フリース(G. deVries)とは適度に振幅の小さい浅水波を記述する方程式として、KdV方程式を導いた。この方程式は孤立波を含む永久波解を持っていた。但し、彼らの研究は注目を浴びることなく、長い間、忘れ去られていた。

70年後、KdV方程式は、ザブスキー(N.J. Zabusky)とクルスカル(M. D. Kruskal)による、非線形格子におけるエネルギー伝播の問題(フェルミ・パスタ・ウラムの問題)の研究過程で再発見された。1965年、彼らは非線形格子の連続体モデルの数値計算において、不思議な現象を見い出した。一つは、余弦波で与えた初期状態がいくつかの孤立波に分裂する現象であり、もう一つは二つの孤立波の伝播において、速度が速い孤立波が速度が遅い孤立波を追い越す形で衝突してもそれぞれの波形が壊れず、そのまま伝播する現象である。彼らはこうした粒子性を有する波動現象を、孤立波(solitary wave)と粒子を表す接尾語 -tonを合わせ、ソリトン(soliton)と名付けた。このザブスキーとクルスカルによる研究を契機に、こうした可積分系の性質は注目を集め、その後の研究活発化と理論の発展につながった。

KdV方程式の解

KdV方程式の解として、次のものが存在する。

1ソリトン解

一つの孤立波を表す1ソリトン解は次の形で与えられる。

$u(x, t)= 2\kappa^2 \operatorname{sech}^{2}\kappa(x-ct+\delta) =2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\log{(1+e^{2\kappa(x-ct+\delta)})} \quad (c=4\kappa^2) \,$

ここで、sechはsech(x )=2/(e^x+e^-x)で与えられる双曲線正割関数を表す。この解はu (x, t )=u (x - ct )という関数形を有しており、sech²で表される一つのピークを持つ孤立波が形を保ったまま、速度c　で伝播する状況に対応している。また、振幅値2κ²は速度c=4κ²に比例しており、波の高さ（振幅）が高いほど、速く伝播する性質を持つ。

2ソリトン解

二つの孤立波を表す2ソリトン解は次の形で与えられる。

$u(x, t) =2\frac{\partial^2 }{\partial x^2} \log{ \left ( 1+A_1e^{2\kappa_1(x-c_1t+\delta_1)}+A_1e^{2\kappa_2(x-c_2t+\delta_2)} +\biggl ( \frac{\kappa_1-\kappa_2}{\kappa_1+\kappa_2} \biggr )^2 A_1A_2e^{2\kappa_1(x-c_1t+\delta_1)+2\kappa_2(x-c_2t+\delta_2)} \right )} \,$

但し、

$c_1=4\kappa_{1}^{\, 2}, \,\, c_2=4\kappa_{2}^{\, 2} \,$

である。

この解は次のような行列式による表示を行うことも可能である。

$u(x, t) =2\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\log{\det{A(x, t)}}$

$A(x, t) = \begin{pmatrix} 1+\frac{1}{2k_1}e^{-2\kappa_1(x-c_1t+\delta_1)} & \frac{1}{k_1+k_2}e^{\kappa_1(x-c_1t+\delta_1)+\kappa_2(x-c_2t+\delta_2)} \\ \frac{1}{k_2+k_1}e^{\kappa_2(x-c_2t+\delta_2)+\kappa_1(x-c_1t+\delta_1)} & 1+\frac{1}{2k_2}e^{-2\kappa_2(x-c_2t+\delta_2)} \end{pmatrix}$

Nソリトン解

N個の孤立波を表すNソリトン解は次の形で与えられる。

$u(x, t) =2\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\log{\det{A(x,t)}}$

ここで、A=A (x, t )はn次の正方行列で、そのi行j列成分A _ij(x, t )が

$A_{ij}(x, t)=\delta_{ij}+\frac{1}{k_i+k_j}e^{-( \kappa_i(x-c_it+\delta_i)+\kappa_j(x-c_jt+\delta_j) )}$

$c_i=4\kappa_i^{\, 2} \quad (i,j=1,2,\cdots ,N)$

で与えられる。但し、δ_ijはクロネッカーのデルタを表す。

周期解(クノイダル波)

KdV方程式はヤコビの楕円関数 cn（クノイダル関数）で表される周期解

$u(x, t)=u_0+2\kappa^2 k^2 \operatorname{cn}^{2}\kappa(x-ct+\delta) \,$

をもつ。 但し、

$c=6u_0-(1-2k^2)\kappa^2 \,$

である。

保存量

可積分系であるKdV方程式は、時間に対して不変となる無限個の独立な保存量を持つという著しい性質を持つ。1968年、日系人数学者ロバート・ミウラ(Robert Miura)によって、この性質は見出された。 KdV方程式

$u_{t} + uu_{x}+u_{xxx}=0 \,$

については、

$I_{1}= \int^{\infty}_{-\infty}\!\!\! u\, dx$

$I_{2}= \int^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{2}u^2 \, dx$

$I_{3}= \int^{\infty}_{-\infty} \biggl \{ \frac{1}{3}u^3-u_{x}^{\, 2}\biggr \} \, dx$

$I_{4}= \int^{\infty}_{-\infty} \biggl \{ \frac{1}{4}u^4-3uu_{x}^{\, 2}+\frac{9}{5}u_{xx}^{\, 2}\biggr \} \, dx$

$I_{5}= \int^{\infty}_{-\infty} \biggl \{ \frac{1}{5}u^5-6u^2u_{x}^{\, 2} +\frac{36}{5}uu_{xx}^{\, 2}-\frac{108}{35}u_{xxx}^{\, 2} \biggr \} \, dx$

$\vdots$

が保存量となる。

参考文献

主要論文

• D. J. Korteweg and G. deVries, Phil. Mag., 39, 4, 1895.
• N.J. Zabusky a,d M. D. Kruskal, Phy. Rev. Lett., 15, 240, 1965.

参考書籍

• 和達三樹 『非線形波動 (現代物理学叢書) 』岩波書店 (2000年) ISBN 978-4000067416
• 戸田盛和 『非線形波動とソリトン』日本評論社(2000年)　ISBN 978-4535783164

関連項目

• 可積分系
• ソリトン