K理論

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数学における K-理論(Kりろん、: K-theory)は、大まかには、大きな行列不変量を研究することのひとつであり[1]位相空間スキーム上で定義されたベクトル束で生成されるの研究に端を発する。代数トポロジーにおける K-理論は、位相的 K-理論と呼ばれる一種の超常コホモロジー論英語版である。代数学代数幾何学における K-理論は代数的 K-理論と呼ばれる。また、K-理論は作用素環論においてもいくつかの応用を持つ。

K-理論は、位相空間やスキームから付帯する環への写像である K-函手の族を構成することを意味する。これらの環は、元の空間やスキームの構造のいくつかの側面を反映している。代数トポロジーにおけるへの函手のように、この函手的な写像の利点は、元の空間やスキームからよりも写像された環からのほうが位相的な性質を容易に計算することができることが多いことである。K-理論のアプローチから得られる結果の例としては、ボットの周期性英語版(Bott periodicity)やアティヤ=シンガーの指数定理アダムズ作用素英語版(Adams operation)がある。

高エネルギー物理学では、K-理論、特にツイストした K-理論英語版(twisted K-theory)は、II-型弦理論に現れる。そこでは、K-理論が、Dブレーンラモン-ラモン場英語版(Ramond–Ramond field)の強さ、一般化された複素多様体上のスピノルを分類すると予想されている。物性物理学では、K-理論は、トポロジカル絶縁体超伝導や安定フェルミ面を分類することに使われる。詳細はK理論 (物理学)英語版(K-theory (physics))の項を参照。

黎明期[編集]

この主要な問題は、アレクサンドル・グロタンディークグロタンディーク-リーマンロッホの定理英語版(Grothendieck–Riemann–Roch theorem)を定式化することに、K-理論を用いた Grothendieck (1957) に始まる。名称は「類」を意味するドイツ語 "Klasse" の頭文字をとった[2]。グロタンディークは、代数多様体 X 上の連接層をうまく扱う必要とし、層自体を直接扱うのではなく、層の同型類を群の生成系として、それらの和を備える二つの層の拡大を同一視することによる基本関係で一つの群を定義した。局所自由層のみを用いて考えると、こうして得られた群は K(X) と書かれ、任意の連接層を用いるときは G(X) と書かれつのだが、いづれもグロタンディーク群英語版(Grothendieck group)と呼ばれる。K(X) はコホモロジー的であり、G(X) はホモロジー的に振る舞う。

X が滑らかな代数多様体英語版(smooth variety)のとき、この二つのグロタンディーク群は一致する。X が滑らかなアフィン代数多様体ならば、局所自由層の任意の拡大は分裂するので、別な方法でグロタンディーク群を定義することもできる。

トポロジーでは、ベクトル束に同じ構成を適用することにより、Atiyah & Hirzebruch (1959)位相空間 X に対する K(X) を定義し、ボット周期性定理英語版(Bott periodicity theorem)用いてある超常コホモロジー論英語版(extraordinary cohomology theory)の基底を与えた。これは指数定理の別証明 (circa 1962) において重要な役割を果たす。さらにこのアプローチはC*-環に対する非可換 K-理論を導く。

1955年にはすでにジャン=ピエール・セールは、ベクトル束のアナロジーとして射影加群を用いて「多項式環上の任意の有限生成射影加群が自由加群である」ことを言うセール予想英語版(Serre's conjecture)を定式化していたが、これが肯定的に解かれたのは20年を経た後のことであった(スワンの定理英語版(Swan's theorem)はこのアナロジーのもうひとつの側面である)。

理論の展開[編集]

代数的 K-理論のもうひとつの歴史的な起源は、ホワイトヘッドらによる業績で、後にホワイトヘッドねじれ英語版(Whitehead torsion)として知られていることに関することである。

その後「高次 K-理論函手」の部分的な定義がさまざまに提唱され、最終的にダニエル・キレンによって1969年と1972年にホモトピー論を用いた互いに同値な二つの有力な定義が与えられた。また、擬イソトピー(pseudo-isotopy)の研究と関連する「空間の代数的 K-理論」を調べるため、K-理論の一変形がフリードヘルム・ヴァルトハウゼンによっても与えられた。より現代的な高次 K-理論の研究は、代数幾何学およびモチーフコホモロジー英語版と関連する。

付帯二次形式をもつ対応する構成は、一般にL-理論英語版と名付けられ、手術英語版(surgery)の主な道具立てとなっている。

弦理論において、ラモン-ラモン場英語版(Ramond–Ramond field)の強さや安定 Dブレーンのチャージの K-理論分類が、初めて提唱されたのは1997年のことであった[3]

応用[編集]

チャーン指標[編集]

チャーン類は、空間の位相的K-理論英語版(topological K-theory)からその有理コホモロジー(の完備化)への環の準同型を構成することに使うことができる。ラインバンドル L に対し、チャーン指標 ch は、

\operatorname{ch}(L) = \exp(c_{1}(L)) := \sum_{m=0}^\infty \frac{c_1(L)^m}{m!}

により定義される。

さらに一般的には、V = L_1 \oplus ... \oplus L_n が第一チャーン類 x_i = c_1(L_i) を持つラインバンドルの直和であれば、チャーン指標は、

 \operatorname{ch}(V)  = e^{x_1} + \dots + e^{x_n} :=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!}(x_1^m + ... + x_n^m).

と加法的に定義される。

チャーン指標は、テンソル積のチャーン類の計算でうまく使うことができるので、役に立つ。チャーン指標はヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理で有用である。

同変K-理論[編集]

代数的同変K-理論英語版(Equivariant K-theory)は、キレン(Quillen)のQ-構成英語版(Q-construction)を通して、線型代数群 G による作用英語版(action of a linear algebraic group)を持つ代数的スキーム X 上の同変連接層英語版(equivariant coherent sheaves)の圏 \operatorname{Coh}^G(X) についての代数的K-理論である。従って、定義により、

K_i^G(X) = \pi_i(B^+ \operatorname{Coh}^G(X))

である。特に、K_0^G(C)\operatorname{Coh}^G(X)グロタンディーク群英語版(Grothendieck group)である。理論はトーマソン(R. W. Thomason)によって1980年代に開拓された[4] とりわけ、彼は局所化定理のような基本的な定理の同変な場合の類似定理を証明した。

注釈[編集]

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]