概型

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数学における概型(がいけい、scheme; スキーム)とは、可換環に対して双対的に構成される局所環付き空間である。二十世紀半ばにアレクサンドル・グロタンディークによって導入され、以降の代数幾何学において任意標数代数多様体を包摂し、係数の拡大や図形の「連続的」な変形を統一的に取り扱えるような図形の概念として取り扱われている。さらに、今まで純代数的な対象として研究されてきた環についてもそのアフィンスキームを考えることである種の幾何的対象として、多様体との類推にもとづく研究手法を持ち込むことが可能になる。このため特に数論の分野ではスキームが強力な枠組みとして定着している。

スキームを通じて圏論的に定義される様々な概念は大きな威力を発揮するが、その一方で、古典的な代数幾何においては点とみなされなかった既約部分多様体のようなものまでがスペクトルの「点」になってしまう。このためヴェイユザリスキ流の代数幾何学(これ自体大幅な形式化によって前の世代の牧歌的なイタリア流代数幾何に引導を渡すものだったのだが)を習得して研究していた同時代の学者たちからは戸惑いのこもった反発を受けた。

定義[編集]

環のスペクトル[編集]

可換環 A に対して、 A素イデアルの全体の集合 Spec(A) は Aスペクトルとよばれる。A の部分集合 M に対し

V(M) = \{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)\colon M \subset \mathfrak{p}\}

とおくと、{V(M): MA } は Spec(A) 上の閉集合系の公理を満たす。これによって定まる位相はザリスキー位相とよばれる。A の元 f に対して

D(f) = \{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)\colon f \notin \mathfrak{p}\}

とおくと、{D(f): fA} は Spec(A) の開集合の生成基となる。fの形式的逆を付け加えて局所化した環 A[1/f] のスペクトルは D(f) と同相になる。

アフィンスキーム[編集]

AのスペクトルSpec(A) は以下のようにして局所環付き空間の構造を持ち、その構造も込めてアフィンスキームまたはアフィン概型とよばれる。Spec(A) の開集合 U に対し、

S_U = \bigcap_{\mathfrak{p} \in U}\mathfrak{p}^c

A の空でない積閉集合である。開集合 U に対してSUに関するAの局所化 SU−1A を与える対応は Spec(A) 上の局所環の層になり、OSpec A と書かれる。この構造層OSpec A は、スペクトルの開集合の生成基 D(f) (fA) に対し A[1/f] を与える層として特徴づけられる。

A の素イデアル p に対して OSpec(A)p におけるを考えることができるが、これはp における A局所化 Ap と同型である。また、A の元 f に対して、環 OSpec(A)(D(f)) は A についての局所化 A[1/f] と同型になっている。

環の準同型f: A → Bが与えられたとき、局所環付き空間の射 Spec B → Spec A が次のようにして自然に定まる。底空間の間の連続写像は Spec B ∋ p → f-1p ∈ Spec Aによって与えられ、「構造層の間の射」 OA → f*OB は  SU−1A → f(SU)−1B によって与えられる。

逆に、アフィン概型間の射 g: X → Y が与えられると、環の準同型 Γ(g): Γ(OY) = OY(Y) → Γ(OX) が導かれ、この対応 A → Spec(A) と XΓ(OX) によって、環の圏と、アフィン概型の圏は圏同値となる。

スキーム[編集]

アフィンスキームの張り合わせとしてえられるような局所環付き空間は前スキームまたは概型スキーム)とよばれる。グロタンディークのEGAやマンフォードの「Red Book」など初期の文献には概型/スキームという用語で前スキームのうちで特に点の分離性を満たすものをさしているものもある。

スキームについての諸概念[編集]

スキーム間の射の中で、位相空間に対応するものとして、分離射と固有射の二つがある。スキーム間の射については、構造層や加群の層を考える必要がある。スキームの内在的な幾何については因子の概念が重要な役割を果たす。スキームから射影空間への射では、可逆層やその大域切断で特徴付けられる。

古典的な代数幾何学との対応[編集]

古典的代数幾何学における主要な研究対象であった、多項式の零点集合として定義されるような図形(アフィン多様体)は次のようにして(アフィン)スキームの文脈に再現される。 例として複素二次元空間 C2 上で定義される

f(x,y)=x^2+y^2-1

という多項式関数の零点集合 S を考える。複素係数の2変数多項式環 C[x, y] は C2 上の多項式関数の代数系を表しており、この多項式環を f(x, y) で割ってできる剰余環 A = C[x, y]/(f) の元は C2 上の関数について S 上で区別できない差を無視したものと見なすことができる。したがって、この商環は S 上の関数全体の代数系をあらわすと考えられる。

一方で A の極大イデアルは f(x, y) = 0 の点と一対一に対応している。たとえば、上で定義した A の極大イデアル m = (x − 1, y) は S 上の点 (1, 0) という点に対応している。そこで A の極大イデアルの集合を Spm A と定義すれば、これを今まで我々が考えてきた S と同一視することができる。これが、古典的な意味での点集合としての代数多様体である。

しかし、数論への応用を視野に入れた圏論的な定式化のためには、既約部分多様体をも点と見なした方が都合が良いことが知られている。つまり、任意の環の準同型 B → C に対し必ずアフィンスキームの射 Spec C → Spec B が存在する一方で、Spm C と Spm Bの間にはアプリオリな対応が存在しない。このように、スキーム論では多様体上の点は部分多様体と捉え、逆に(既約)部分多様体も点のようにみなされる。

また、各点 p における構造層の茎は p の近傍でのみ定義されているような正則関数を考えることに対応している。

アフィン多様体の張り合わせで得られる射影空間などがスキームとして表現される。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Grothendieck, A.; Dieudonné J. (1960). Eléments de Géométrie Algébrique I. Le langage des schemas.. Paris: Inst. Hautes Etudes Sci.. 
  • Mumford, D. (1974). The red book of varieties and schemes. Berlin: Springer Verlag. 
  • Hartshorne, R., Algebraic Geometry, Springer-Verlag (1977) ISBN 0387902449 [ 邦訳:高橋 宣能、松下 大介 訳 代数幾何学 1,2,3 シュプリンガーフェアラーク東京 (2004) ISBN 443171135X ISBN 4431711368 ISBN 4431711376 ]