エタール・コホモロジー

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エタール・コホモロジー(étale cohomology)はアレクサンドル・グロタンディークヴェイユ予想を証明するための道具として考案したコホモロジー理論であり、位相空間上の定数係数コホモロジー、すなわち特異コホモロジーの類似になっている。エタール・コホモロジーはヴェイユ・コホモロジーの一種であるℓ進コホモロジーを構成する枠組みを与える。代数幾何学における基本的な道具の一つで、非常に多くの応用を持ち、ヴェイユ予想への貢献やフェルマーの最終定理の証明の際にも用いられた。

定義[編集]

任意のスキームXに対してエタール射u:AX全体からなるEt(X)であらわす。この圏は位相空間Sの開部分集合の圏Top(S)の類似であって普通の開埋め込み射をエタール射に置き換えたものとみられる。しかしながらザリスキ位相の開埋め込み射よりもエタール射のほうが数が多くなっており、その分位相は細かくなっている。この位相を用いることによって通常のの理論とまったく同様に、Et(X)上に前層および層を定義することができる。それらをエタール前層およびエタール層とよぶ。

Et(X)上の層の成す圏は通常と同様にやはりアーベル圏であり、アーベル圏の理論もしくは導来関手の理論を用いることにより、エタール層Fに対してコホモロジー

H^i(X, \mathcal{F})

の存在および一意性が証明される。これがエタール・コホモロジーである。

もっと一般的には、同様の手順によって、任意のの上でそのグロタンディーク位相を用いて層を定義し、コホモロジー理論を構成することができる。景の言葉を用いるならエタール・コホモロジーはエタール景上のコホモロジーと言い換えることができる。

ℓ進コホモロジー群[編集]

エタール・コホモロジーは係数がZ/nZの場合には上手く働くが、ねじれを持たない(たとえば整係数や有理係数)場合は満足する結果を与えない。エタール・コホモロジーからねじれを持たないコホモロジー群を得るためには、ねじれを持つ係数のエタール・コホモロジーの逆極限をとればよい。これはℓ進コホモロジーもしくはℓ進エタール・コホモロジーと呼ばれる。ここでℓは考えているスキームV標数pとは異なる任意の素数を表す。たとえば定数層Z/ℓkZのエタール・コホモロジー

H^i (V, \mathbb{Z}/l^k\mathbb{Z})

の逆極限

H^i (V, \mathbb{Z}_l) = \lim_{\leftarrow} H^i(V, \mathbb{Z}/l^k\mathbb{Z})

としてℓ進コホモロジーが定義される。ここで注意しなければならないのだが、コホモロジー(右導来関手をとる操作)は逆極限をとる操作と可換ではない。したがってこのℓ進コホモロジーはエタール層Zに係数をもつエタール・コホモロジーとは異なるものである。後者のコホモロジーは存在するが"悪い"コホモロジー群を与える。

ℓ進コホモロジーからねじれ部分群を取り除き、標数0の体上のベクトル空間としてコホモロジー群を得たいならば

H^i(V, \mathbb{Q}_l) = H^i(V, \mathbb{Z}_l) \otimes \mathbb{Q}_l

と定義する。ここでこの記法は誤解を与えるのだが、Qはエタール層でもℓ進層でもない。

性質[編集]

一般的に多様体のℓ進コホモロジー群は複素多様体の特異コホモロジー群と似たような性質を持つ。ただ特異コホモロジーは整数もしくは有理数上の加群であるのに対して、ℓ進コホモロジーはℓ進整数もしくはℓ進数上の加群になる。非特異な射影多様体上のℓ進コホモロジーはポアンカレ双対性を満たすほかケネスの公式も満たす。

一方ℓ進コホモロジーは特異コホモロジーと異なり、ガロア群の作用を持つという性質がある。たとえば有理数体上定義された複素多様体のℓ進コホモロジー群は有理数体の絶対ガロア群の作用を持ち、ガロア表現と関係が深い。

いくつかの計算例[編集]

Hi(X, Gm)[編集]

H^0(X, G_m) = k^*
H^1(X, G_m) = Pic(X)

ここでPic(X)はピカール群

H^{i>1}(X, G_m) = 0

Hi(X, μn)[編集]

μnを1のn乗根の層、nは体kの標数と素とする。エタール層におけるクンマーの完全系列

1\rightarrow \mu_n \rightarrow G_m \xrightarrow{n}G_m \rightarrow 1

より長完全系列

0\rightarrow H^0(X, \mu_n)\rightarrow H^0(X, G_m)\rightarrow H^0(X, G_m) \rightarrow
\rightarrow H^1(X, \mu_n)\rightarrow H^1(X, G_m)\rightarrow H^1(X, G_m)\rightarrow H^2(X, \mu_n)\rightarrow H^2(X, G_m)

を得るが、ここに上記の結果H0(X, Gm)=k*、H1(X, Gm)=Pic(X)およびi>1に対してHi(X, Gm)=0を代入することによって

H^0(X, \mu_n) = \mu_n(k)
1\rightarrow H^1(X, \mu_n)\rightarrow Pic(X)\xrightarrow{\times n} Pic(X)\rightarrow H^2(X, \mu_n)\rightarrow 1

となる。下式からH1(X, μn)=Pic(X)のn等分点の成す群、H2(X, μn)=Z/nZおよびその他は0とわかる。

参考文献[編集]

  • Milne, James S. (1980), Étale Cohomology, Princeton Mathematical Series 33, Princeton University Press
  • Gunter Tamme, Introduction to Etale Cohomology
  • 斎藤秀司・佐藤周友 (2012),代数的サイクルとエタールコホモロジー,シュプリンガー現代数学シリーズ,丸善出版
  • 上記を除く日本語文献は出版されていない。岩波書店現代数学の展開から出版予定であったが、出版中止になっている。(執筆者は加藤和也

関連項目[編集]