ピカール群

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数学では、環付き空間 X のピカール群(Picard group)は Pic(X) と書き、テンソル積である群作用を持つ X 上の可逆層(もしくは、ラインバンドル)の同型類のなす群である。この構成は、因子類群やイデアル類群の構成の大域的なバージョであり、代数幾何学複素多様体の理論のなかでよく使われる。

ピカール群は、層コホモロジー

H^1 (X, \mathcal{O}_X^{*})

としても定義することができる。

スキーム(integral scheme)に対して、ピカール群はカルティエ因子の類群と同型であることを示すことができる。複素多様体に対し、指数層系列英語版(exponential sheaf sequence)は、ピカール群の基本的な情報を与える。

エミール・ピカール(Émile Picard)の理論、特に代数曲線の因子の理論から、ピカールの名前がついている。

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  • k 上に 2つの点をもつアフィン直線のピカール群は、Z に同型である。

ピカールスキーム[編集]

ピカール群の(表現函手英語版(representable functor)のバージョンでの)スキーム構造を構成であるピカールスキーム(Picard scheme)は、代数幾何学、特にアーベル多様体の双対理論英語版(duality theory of abelian varieties)では重要なステップである。ピカールスキームはGrothendieck (1961/62)で構成されていて、また、Mumford (1966)Kleiman (2005)にも記載がある。ピカール多様体は、古典的な代数幾何学のアルバネーゼ多様体の双対である。

古典的な代数幾何学で最も重要な場合は、標数が 0 のの上の非特異英語版(non-singular)な完備多様体英語版(complete variety) V に対し、ピカールスキームの単位元に連結成分は、Pic0(V) と書かれ、アーベル多様体である。V が曲線である特別な場合は、この中間成分が V のヤコビ多様体である。しかしながら、正の標数では、井草準一英語版は退化した Pic0(S) を持つ滑らかな射影曲面 S を構成し、従ってアーベル多様体とはならない例を構成した。

商 Pic(V)/Pic0(V) は有限生成アーベル群英語版(finitely-generated abelian group)であり、V のネロン・セヴィリ群と呼ばれ、NS(V) と書く。言い換えると、ピカール群は完全系列により表される。

1\to \mathrm{Pic}^0(V)\to\mathrm{Pic}(V)\to \mathrm{NS}(V)\to 0.\,

ランクが有限であるという事実は、フランシス・セヴィリ英語版(Francesco Severi)の基底定理(theorem of the base)である。また、ランクは V のピカール数(Picard number)であり、 ρ(V) と書かれることもある。幾何学的には NS(V) は、V 上の因子代数的同値英語版(algebraic equivalence)類であり、すなわち、より強く使うと、因子の一次系英語版(linear equivalence of divisors)の位置での非線形な部分であり、分類は離散的な不変量となり扱いやすい。代数的同値は数値的同値英語版(numerical equivalence)と密接に関係して、本質的には交叉数によりトポロジカルな分類となる。

参照項目[編集]

参考文献[編集]