射影加群

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数学において、射影加群(しゃえいかぐん、: projective module)とは、 関手 Hom(P, –)完全となるような加群 P のことである。 ホモロジー代数学における基本的な概念のひとつ。

動機[編集]

一般の加群 P に対して関手 Hom(P, –) は左完全である。 つまり任意の短完全列

 0 \to N \to M \to K \to 0

に対して

 0 \to \operatorname{Hom}(P, N) \to \operatorname{Hom}(P, M) \to \operatorname{Hom}(P, K)

は完全である。 この関手 Hom(P, –) が完全となる、つまり

 0 \to \operatorname{Hom}(P, N) \to \operatorname{Hom}(P, M) \to \operatorname{Hom}(P, K) \to 0

が完全となる加群 P のことを射影加群と呼ぶ。

定義[編集]

R単位元をもつとし、以下では加群はすべて左 R 加群、射はすべて左 R 加群の準同型を指すことにする。 加群 P射影加群である、あるいは射影的とは次の同値な条件のいずれかが成り立つことをいう[1]

  • 関手 Hom(P, –)完全である、つまり任意の短完全列 0 → NMK → 0 に対して 0 → Hom(P, N) → Hom(P, M) → Hom(P, K) → 0 も短完全列である
  • P はある自由加群直和因子同型である
  • 任意の全射 NM に対して Hom(P, N) → Hom(P, M) も全射である
  • 任意の加群 M に対して Ext(P, M) = 0
  • 任意の加群 M と正の整数 n に対して Extn(P, M) = 0
  • 任意の全射 f : NM と射 g : PM に対して h f = g となる射 h : PN が存在する
Projective module.png

性質[編集]

射影分解と射影次元[編集]

加群 M に対し、各 P_i が射影加群であるような次の完全列

\cdots \to P_{n+1} \to P_n \to \cdots \to P_1 \to P_0 \to M \to 0

M射影分解という。任意の加群には自由分解(上記で射影加群を自由加群に置き換えたもの)が存在し、したがって射影分解も存在する。すべての i > n に対しP_{i}=0 であるような射影分解を長さ n の射影分解という。そのような n が存在する場合その最小値を M射影次元といい、存在しない場合は射影次元は ∞ という。ただし、{0} の射影次元は -1 とする。射影次元は pd(M) と書かれる。R-加群 M と整数 n ≥ 0 に対して次は同値。

  • pd(M) ≤ n
  • 任意の R-加群 X に対して、\mathrm{Ext}^{n+1}_R(M,X)=\{0\}
  • 任意の in+1 と任意の R-加群 X に対して、\mathrm{Ext}^i_R(M,X)=\{0\}

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Anderson & Fuller 1992 17.1. Proposition(p.192), 17.2. Proposition(p.192), 岩永 & 佐藤 2002 補題 6-2-1(p.201)
  2. ^ Anderson & Fuller 1992, p. 193.
  3. ^ 岩永 & 佐藤 2002, p. 128.

参考文献[編集]