射影加群

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数学において、射影加群(しゃえいかぐん、: projective module)とは、 関手 Hom(P, –)完全となるような加群 P のことである。 ホモロジー代数学における基本的な概念のひとつ。

動機[編集]

一般の加群 P に対して関手 Hom(P, –) は左完全である。 つまり任意の短完全列

 0 \to N \to M \to K \to 0

に対して

 0 \to \operatorname{Hom}(P, N) \to \operatorname{Hom}(P, M) \to \operatorname{Hom}(P, K)

は完全である。 この関手 Hom(P, –) が完全となる、つまり

 0 \to \operatorname{Hom}(P, N) \to \operatorname{Hom}(P, M) \to \operatorname{Hom}(P, K) \to 0

が完全となる加群 P のことを射影加群と呼ぶ。

定義[編集]

R単位元をもつとし、以下では加群はすべて左 R 加群、射はすべて左 R 加群の準同型を指すことにする。 加群 P射影加群である、あるいは射影的とは次の同値な条件のいずれかが成り立つことをいう[1]

  • 関手 Hom(P, –)完全である、つまり任意の短完全列 0 → NMK → 0 に対して 0 → Hom(P, N) → Hom(P, M) → Hom(P, K) → 0 も短完全列である
  • P はある自由加群直和因子同型である
  • 任意の全射 NM に対して Hom(P, N) → Hom(P, M) も全射である
  • 任意の加群 M に対して Ext(P, M) = 0
  • 任意の加群 M と正の整数 n に対して Extn(P, M) = 0
  • 任意の全射 f : NM と射 g : PM に対して h f = g となる射 h : PN が存在する
Projective module.png

性質[編集]

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Anderson & Fuller 1992 17.1. Proposition(p.192), 17.2. Proposition(p.192), 岩永 & 佐藤 2002 補題 6-2-1(p.201)
  2. ^ Anderson & Fuller 1992, p. 193.
  3. ^ 岩永 & 佐藤 2002, p. 128.

参考文献[編集]