開かつ閉集合

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位相空間論における開かつ閉集合(かいかつへいしゅうごう、closed-open set)は与えられた位相空間の位相に関して開集合にも閉集合にもなっているような部分集合のことである。かばん語にして開閉集合(かいへいしゅうごう、clopen set)と呼ぶこともある。

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任意の位相空間 X において空集合および全体集合 X は、位相空間の定義により、ともに常に開かつ閉である[1][2]

考える空間 X を実数直線 R の二つの区間 [0,1] および [2,3] の和集合とし、X の位相を R の通常の位相からくる相対位相とすると、[0,1] および [2,3] はともに X における開かつ閉集合となる。これは典型的な例であって、考えたい空間が先ほど見たように有限個の互いに交わらない連結成分からなるならば、各連結成分はその空間の開かつ閉集合となる。

もう少し非自明な例としては、有理数全体の成す空間 Q が絶対値からくる通常の位相を備えるものとし、部分集合 A を正の有理数でその平方が 2 よりも大きくなるようなもの全体とする。√2 が Q に属さないという事実を利用すれば、AQ において開かつ閉であることを示すのは容易である(注意すべきは、A は実数直線 R の部分集合としては開かつ閉ではないことである。そもそも AR の開集合にも閉集合にもならない)。

性質[編集]

  • 位相空間 X連結となることと、その開かつ閉集合が空集合と全体集合 X に限られることとは同値である。
  • ある部分集合が開かつ閉であるための必要十分条件は、その集合の境界が空であることである。
  • 任意の開かつ閉集合は(場合によっては無限個の)連結成分の和に書ける。
  • X の連結成分がすべて開であるとき(たとえば X が連結成分を有限個しか持たないときや、X局所連結であるときはそうである)、X の部分集合が開かつ閉であるのは、それが連結成分の和に表されるときであり、かつそのときに限る。
  • 位相空間 X離散空間となることと、X の任意の部分集合が開かつ閉となることとは同値である。
  • 集合のを演算と看做せば、与えられた位相空間 X の開かつ閉集合の全体はブール代数を成す。実はどんなブール代数も、適当な位相空間からこの方法を用いて得られる(ブール代数に関するストーンの表現定理を見よ)。

参考文献[編集]

  1. ^ Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (1992) [1982]. Introduction to Real Analysis (2nd ed.). John Wiley & Sons, Inc.. pp. 348 (regarding the real numbers and the empty set in R). 
  2. ^ Hocking, John G.; Young, Gail S. (1961). Topology. NY: Dover Publications, Inc.. pp. 5 and 6 (regarding topological spaces).