ユークリッド計量

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数学において、ユークリッド計量もしくはユークリッド距離とは、2点間の「通常の」距離のことをいい、その距離は定規によって測ることができる。 またこの2点間の線分はピタゴラスの定理によって与えられる。このピタゴラスの定理を距離として使うことによって、ユークリッド空間(あるいはいかなる内積空間ですら)距離空間となるのである。ユークリッド計量(ユークリッド距離)に関連するノルムはユークリッドノルムと呼ばれる。古い書籍などはピタゴラス計量と呼んでいることがある。

定義[編集]

p q間のユークリッド距離はそれらの点をつなぐ線分の長さである(\overline{\mathbf{p}\mathbf{q}})。

直交座標系において、もしp = (p1p2,..., pn) および q = (q1q2,..., qn)がユークリッド空間にある2点であったなら、そのp q間の距離あるいはpからqまでの距離は次のように与えられる。:

\mathrm{d}(\mathbf{p},\mathbf{q}) = \mathrm{d}(\mathbf{q},\mathbf{p}) = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + \cdots + (q_n-p_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (q_i-p_i)^2}.

 

 

 

 

(1)

ユークリッド空間における点の位置はユークリッドベクトルである。よって、pおよびqは、その空間内で原点から始まるユークリッドベクトルであると言える。また、その線分の端は2点を示している。あるベクトルのユークリッドノルムあるいはユークリッド距離は、そのベクトルの長さを表わす:

\|\mathbf{p}\| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}}

ただし、最後の等式はドット積を含む。

ベクトルは、ユークリッド空間の原点(ベクトルの尾となる)から、同空間内のどこか一点(ベクトルの頭となる)をつなぐ、方向性のある線分として記述される。もし、その長さが本当にそのベクトルの尾から頭まで距離に等しいのであれば、ベクトルのユークリッドノルムがユークリッド距離の特別なケース―――そのベクトルの尾から頭までのユークリッド距離―――であるに過ぎないことは明らかである。

p q点の間の距離は方向性を持ちうる(例えばpからqへ、など)、よってそれは異なるもうひとつのベクトルによって表わすことが可能であろう。それは次式によって与えられる。

\mathbf{q} - \mathbf{p} = (q_1-p_1, q_2-p_2, \cdots, q_n-p_n)

三次元空間(n=3)においては、これはpからqへのベクトルとなり、そしてこれはpに関連したqの位置とみなされる。もし、pおよびqが、連続した2時点における、ある同じ点の2つの位置を示しているのなら、これは変位ベクトルとも呼ばれる。

p q間のユークリッド距離は、単なるこの距離ベクトル(あるいは変位ベクトル)のユークリッド長(Euclidean length)である:

\|\mathbf{q} - \mathbf{p}\| = \sqrt{(\mathbf{q}-\mathbf{p})\cdot(\mathbf{q}-\mathbf{p})}.

 

 

 

 

(2)

そしてこれは等式1と等しく、また次の式とも等しい:

\|\mathbf{q} - \mathbf{p}\| = \sqrt{\|\mathbf{p}\|^2 + \|\mathbf{q}\|^2 - 2\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}}.

1次元[編集]

1次元においては、実数直線における2点間の距離は、それら2点の数値的な差の絶対値である。したがって、もしxyが実数直線上の2点であるなら、その2点間の距離は次の式によって与えられる:

\sqrt{(x-y)^2} = |x-y|.

1次元においては、単一の同次のみが存在し、平行移動不変計量(言い換えれば、ノルムによって導かれる距離)であり、長さの倍率を除いて(up to a scale factor of length)、それがユークリッド距離である。より高い次元においては、これ以外のノルムも存在しうる。

2次元[編集]

ユークリッド平面においては、もしp = (p1p2)およびq = (q1q2)であれば、距離は次のように与えられる:

\mathrm{d}(\mathbf{p},\mathbf{q})=\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2}.

これはピタゴラスの定理に等しい。

あるいは、等式 (2)からすれば当然の結果として、 もし点pの極座標が(r1, θ1)であり、そしてqの極座標が(r2, θ2)であるならば、p q間の距離は

\sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}.

3次元[編集]

3次元のユークリッド空間における距離は次のように表わされる。

d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+(p_3 - q_3)^2}.

N次元[編集]

一般的に、N次元空間において、距離は次のようなものになる。

d(p, q) = \sqrt{(p_1- q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+...+(p_i - q_i)^2+...+(p_n - q_n)^2}.

ユークリッド平方距離[編集]

標準的なユークリッド距離は、2つの遠く離れた物体に段階的により大きなウェイトをかけるため、2乗されることがある。この場合、等式は次のようになる。

d^2(p, q) = (p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+...+(p_i - q_i)^2+...+(p_n - q_n)^2.

ユークリッド平方距離は三角不等式を満たさないため計量(metric)ではないが、ユークリッド平方距離は単に距離を比較する最適化プログラムにおいて頻繁に使われる。ユークリッド平方距離はRational trigonometryという分野ではQuadranceと呼ばれる。

関連項目[編集]

参考文献[編集]