極座標系

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極座標系(きょくざひょうけい, Polar coordinates system) とは、n 次元ユークリッド空間 Rn に定義され、1 個の動径 r 及び n-1 個の偏角 θ1,…,θn-1 からなる座標系のことである。S = (0,0,x3,…,xn) を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S に関しては関数行列式 が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、点 S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。

目次

[編集] いろいろな極座標とその拡張

[編集] 円座標(Circular Polar Coordinates)

2 次元ユークリッド空間 R2 に於ける極座標。1 個の動径 r と 1 個の偏角 θ によってなり、最も単純な極座標である。rθ 平面、極座標平面ともいう。特異点は (r,θ) = (0,θ) 即ち、xy座標での原点 (x,y) = (0,0) である。2 次元実ベクトル空間にも定義できることから、複素数体 C 上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。その場合、オイラーの公式を利用して z = reiθ と表す。円座標平面上で偏角を限定しなければ、これはxy平面上で円を描く。

  • 変換
{x \choose y} = {r\cos\theta \choose r\sin\theta}, \quad {r \choose \theta} = {\sqrt{x^2+y^2} \choose \theta_{x, y}}
ただし、θx, yは
{x \choose y} = \sqrt{x^2+y^2}{\cos\theta_{x, y} \choose \sin\theta_{x, y}}, \quad 0 \leq \theta_{x, y} < 2\pi
なる実数

[編集] 円柱座標(Cylindrical Polar Coordinates)

円座標で (0,0) を除く xy 平面上の全ての点を表現できるから、これに z 軸を加えれば、xyz 空間が表現できる。これを円柱座標と言う。円柱座標空間上 (rθz 空間上ともいう) で、θ,z を限定しなければ、これは xyz 空間上で円柱を描く。 また、円柱座標空間上の特異点は z 軸上の全ての点である。

  • 変換
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r\cos\theta\\r\sin\theta\\z\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}r\\\theta\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sqrt{x^2+y^2}\\\theta_{x, y}\\z\end{pmatrix}
ただし、θx, yは
{x \choose y} = \sqrt{x^2+y^2}{\cos\theta_{x, y} \choose \sin\theta_{x, y}}, \quad 0 \leq \theta_{x, y} < 2\pi
なる実数

[編集] 球座標 (Spherical Polar Coordinates)

球座標による3 次元ユークリッド空間内の点の表示

3 次元ユークリッド空間 R3 における極座標。1 個の動径 r と 2 個の偏角 θ,φ によってなる（図を参照）。球座標において、動径を固定し、2 個の偏角を動かせば、xyz 空間上で球を描く。直交座標と球座標の間の変換は次の式で与えられる。

\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r\sin\theta\cos\varphi\\r\sin\theta\sin\varphi\\r\cos\theta\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}r\\\theta\\\varphi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta_{x, y, z}\\\varphi_{x, y}\end{pmatrix}

ただし、θx, y, z と φx, y はそれぞれ

\cos\theta_{x,y,z}=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \ (0 \leq \theta_{x, y, z} \leq \pi),
\cos\varphi_{x,y}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\ \sin\varphi_{x,y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\ (0 \leq \varphi_{x, y} < 2\pi)

を満たす実数。z 軸上の点はこの変換の特異点であって、偏角が定まらない。

[編集] 積分への応用

極座標平面での長方形は、直交座標に於ける扇形の一部となる。特に θ の長さが 2π であれば、直交座標に於いては円の一部となる。r を 0 から +∞ とすれば、この円は直交座標平面全体となる。従って、直交座標平面全体は、極座標平面に於ける長方形、r×θ = [0,∞)×[0,2π) に等しい。以上のことは広義二重積分に於いて有用である。なぜなら上記から、

\int^{\infin}_{-\infin}\int^{\infin}_{-\infin}f(x,y)dxdy = \int^{2\pi}_{0}\int^{\infin}_{0}f(r\cos \theta,r\sin \theta)rdrd\theta

が導けるからである。この公式は、例えば次のように用いられる。

\int^{\infin}_{-\infin}\int^{\infin}_{-\infin}e^{-(x^2+y^2)}dxdy = \int^{2\pi}_{0}\int^{\infin}_{0}e^{-r^2}rdrd\theta

左辺の積分は、このままの状態で解くのは非常に困難だが、右辺の形にすれば、変数変換 r2 → r によって、

\int^{2\pi}_{0}\int^{\infin}_{0}e^{-r^2}rdrd\theta = \frac{1}{2}\int^{2\pi}_{0}\int^{\infin}_{0}e^{-r}drd\theta

と出来るから、あとは通常の二重積分の方法に従って簡単に解け、答えは π となる。

[編集] 関連項目

"http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" より作成