円柱 (数学)

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円柱

数学において円柱(えんちゅう、: cylinder)とは二次曲面(三次元空間内の曲面)の一種で、デカルト座標によって次の方程式で定義されるものである:

\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1

この方程式は楕円柱を表し、a = b のときのみを円柱(あるいは正円柱)とよぶこともある。円柱は、少なくとも 1 つの座標(この場合 z)が方程式に現れないので退化二次曲面の一種である。定義の仕方によっては円柱は全く二次曲面とは考えられない。

一般の用法で円柱は、上記の意味での正円柱を有限の長さで切断し、両端が二つの円板によって閉じられているような図形を意味する。もしこの意味での円柱が半径 r と長さ(あるいは高さ)h を持つならば、その体積 V と表面積 S

V = \pi r^2 h \,
S = 2 \pi r ( r + h ) \,

によって与えられる。

体積が 1 つ与えられたとき、表面積が最小となる円柱(または、表面積が 1 つ与えられたとき、体積が最大となる円柱)では h = 2r という関係が成り立つ。

さらに幾つかの特異な種類の円柱の仲間が存在する。

  • 虚楕円柱面\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = -1
  • 双曲柱面\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1
  • 放物柱面x^2 + 2y = 0

関連項目[編集]

斜円柱(oblique cylinder)のペンネ