回転楕円体

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回転楕円体(扁球
回転楕円体(長球)

回転楕円体(かいてんだえんたい、spheroid)は、楕円をその長軸または短軸を回転軸として得られる回転体をいう。あるいは、3径のうち2径が等しい楕円体とも定義できる。

回転楕円体は「地球の形」を近似するのに用いられるために重要であり、この回転楕円体を地球楕円体 (Earth ellipsoid) と呼ぶ。様々な地球楕円体のうち、個々の測地系が準拠すべき地球楕円体を特に準拠楕円体 (reference ellipsoid) と呼ぶ。

用語[編集]

3径のうち等しい2径の半径を赤道半径、残りの1つを極半径という。言い換えれば、元の楕円の2径のうち回転軸となった半径が極半径、他方が赤道半径である。

赤道半径のほうが長い、つまり短軸が回転軸となった回転楕円体を扁球扁楕円体扁平楕円体 (oblate, oblate spheroid) という。極半径のほうが長い、つまり長軸が回転軸となった回転楕円体を長球長楕円体扁長楕円体 (prolate, prolate spheroid) という。

赤道半径と極半径が等しい回転楕円体は、である。球は、をその直径を回転軸とした回転体で、3径が全て等しい楕円体である。

回転楕円体の表面を回転楕円面という。

性質[編集]

赤道半径を a、極半径を b とする。なお回転楕円体の半径はこのように表すことが多いが、楕円の長半径を a、短半径を b と表すと紛らわしいので注意が必要である。

回転楕円体は直交座標を使えば

\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{a} \right) ^2 + \left( \frac{z}{b} \right) ^2 \le 1

と定義できる。回転楕円面なら不等号等号になる。

体積

\frac{4}{3} \pi a^2 b

である。

表面積は、一般の楕円体より簡単で、積分をせずに求めることができる。ただし長球と扁球では公式が異なり、扁球は

2 \pi \left( a^2 + \frac{ b^2 \tanh^{-1} e }{ e } \right) \quad \mbox{if } a > b

長球は

2 \pi \left( a^2 + \frac{ a b \operatorname{Sin}^{-1} e }{ e } \right) \quad \mbox{if } b > a

である。e離心率で、長半径を α = max(a, b)、短半径を β = min(a, b) とすると

e = \sqrt{ 1 - \left( \frac{ \beta }{ \alpha } \right)^2 }

である。

関連項目[編集]