ヘロンの公式

ヘロンの公式（ヘロンのこうしき）は任意の三角形の3辺の長さから面積を求める公式である。
三斜法に対し、三辺法ともいう。
この公式を適用するには、三角形の成立条件を満たしていればならない。

概説

長さ$a$, $b$, $c$の線分を辺とする三角形がある時、面積を$S$として

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

が成立する。ただし、

$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$

とする。

二次元平面内の、直線のみで囲まれた図形はどんなに複雑な形をしていようとも必ず三角形に分割することができ、かつ、この公式を使えば高さを求める必要が無いので土地の面積を求める便利な公式としても知られている（三辺法）。

この公式はアレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられるが現代ではこれ自体はアルキメデスにも既知であったと考えられていて、さらにそれ以前から知られていた可能性もある。

証明

ヘロンの公式の証明法は色々あるが、ここでは三角比、余弦定理、因数分解を用いたものを紹介する。
△ABCの∠A、∠B、∠Cの対辺、辺BC、辺CA、辺ABの長さをそれぞれ$a$, $b$, $c$とし、∠Aから辺BCに下ろした垂線の長さを$h$ とする。
このとき△ABCの面積を$S$とすると、

$\begin{align} S&=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos^2C}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\left(1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\left(1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{a^2+2ab+b^2-c^2}{2ab}\times\frac{-(a^2-2ab+b^2-c^2)}{2ab}}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab}\times\frac{-\{(a-b)^2-c^2\}}{2ab}}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}\times\frac{-(a-b+c)(a-b-c)}{2ab}}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}\times\frac{(a-b+c)(-a+b+c)}{2ab}}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(a+b+c)\{(a+b+c)-2c\}\{(a+b+c)-2b\}\{(a+b+c)-2a\}}{4a^2b^2}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{4}a^2b^2\times\frac{(a+b+c)\{(a+b+c)-2a\}\{(a+b+c)-2b\}\{(a+b+c)-2c\}}{4a^2b^2}}\\ &=\sqrt{\frac{(a+b+c)\{(a+b+c)-2a\}\{(a+b+c)-2b\}\{(a+b+c)-2c\}}{16}}\\ &=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times\frac{(a+b+c)-2a}{2}\times\frac{(a+b+c)-2b}{2}\times\frac{(a+b+c)-2c}{2}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{2}(a+b+c)\left\{\frac{1}{2}(a+b+c)-a\right\}\left\{\frac{1}{2}(a+b+c)-b\right\}\left\{\frac{1}{2}(a+b+c)-c\right\}}\\ \end{align}$

となる。ここで、

$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$

とすると、

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

が得られる。

このようにも書ける。

$S=\sqrt{\frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{16}}$

$S=\sqrt{\frac{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}{16}}$

$S=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)-2(a^4+b^4+c^4)}$

関連項目

• 三斜法
• アレクサンドリアのヘロン
• ブラーマグプタの公式
• ブレートシュナイダーの公式

参考文献

• T・L・ヒース著、平田寛他訳『ギリシア数学史』共立出版、1998年5月。ISBN 4-320-01588-6

外部リンク

• Weisstein, Eric W., "Heron's Formula" - MathWorld.（英語）
• ヘロンの公式 計算プログラム