ヘロンの公式

各辺がa, b, cの三角形

ヘロンの公式（ヘロンのこうしき）は任意の三角形の3辺a, b, c の長さから面積 T を求める公式。アレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられる。

3辺の長さがa, b, c である三角形の面積 T は

$T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

ただし、

$s=\frac{a+b+c}{2}.$

また、このようにも書ける。

$T={\ \sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\ \over 16}\,}$

$T={\ \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\ \over 16}\,}$

$T=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)}.$

歴史

この公式はアレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられるが、現代ではこれ自体はアルキメデスにも既知であったと考えられていて、さらにそれ以前から知られていた可能性もある。

証明

三角比、余弦定理、因数分解を用いた証明。

△ABC において、A, B, C の対辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とし、A から辺BC に下ろした垂線の長さを h とする。

このとき△ABCの面積を T とすると、

$\begin{align} T&=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos^2C}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\left(1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\left(1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{a^2+2ab+b^2-c^2}{2ab}\times\frac{-(a^2-2ab+b^2-c^2)}{2ab}}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab}\times\frac{-\{(a-b)^2-c^2\}}{2ab}}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}\times\frac{-(a-b+c)(a-b-c)}{2ab}}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}\times\frac{(a-b+c)(-a+b+c)}{2ab}}\\ &=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(a+b+c)\{(a+b+c)-2c\}\{(a+b+c)-2b\}\{(a+b+c)-2a\}}{4a^2b^2}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{4}a^2b^2\times\frac{(a+b+c)\{(a+b+c)-2a\}\{(a+b+c)-2b\}\{(a+b+c)-2c\}}{4a^2b^2}}\\ &=\sqrt{\frac{(a+b+c)\{(a+b+c)-2a\}\{(a+b+c)-2b\}\{(a+b+c)-2c\}}{16}}\\ &=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times\frac{(a+b+c)-2a}{2}\times\frac{(a+b+c)-2b}{2}\times\frac{(a+b+c)-2c}{2}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{2}(a+b+c)\left\{\frac{1}{2}(a+b+c)-a\right\}\left\{\frac{1}{2}(a+b+c)-b\right\}\left\{\frac{1}{2}(a+b+c)-c\right\}}\\ \end{align}$

となる。ここで、

$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$

とすると、

$T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

が得られる。

参考文献

• T・L・ヒース著、平田寛他訳『ギリシア数学史』共立出版、1998年5月。ISBN 4-320-01588-6

関連項目

• 三斜法
• アレクサンドリアのヘロン
• ブラーマグプタの公式
• ブレートシュナイダーの公式

外部リンク

• Weisstein, Eric W., "Heron's Formula" - MathWorld.（英語）