三十八角形

正三十八角形

三十八角形（さんじゅうはちかくけい、さんじゅうはちかっけい、triacontaoctagon）は、多角形の一つで、38本の辺と38個の頂点を持つ図形である。内角の和は6480°、対角線の本数は665本である。

正三十八角形

正三十八角形においては、中心角と外角は9.473…°で、内角は170.526…°となる。一辺の長さが a の正三十八角形の面積 S は

$S={\frac {38}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{38}}\simeq 114.64795a^{2}$

$\cos(2\pi /38)$を平方根と立方根で表すことが可能である。正十九角形も参照。

以下ように $x_{1},x_{2},x_{3}$ をおくと

${\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{38}}+2\cos {\frac {22\pi }{38}}+2\cos {\frac {14\pi }{38}}={\frac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}\\&x_{2}=2\cos {\frac {6\pi }{38}}+2\cos {\frac {10\pi }{38}}+2\cos {\frac {34\pi }{38}}={\frac {1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}\\&x_{3}=2\cos {\frac {18\pi }{38}}+2\cos {\frac {30\pi }{38}}+2\cos {\frac {26\pi }{38}}={\frac {1+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}\\\end{aligned}}$

以下の三次方程式を解くことにより求めることができる。

$x^{3}-x^{2}-6x+7=0$

さらに、以下のような関係式が得られる。

${\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}\right)^{3}=3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}\right)^{3}=3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)\\\end{aligned}}$

両辺の立方根を取ると

${\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}=&{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)}}\\2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}=&{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)}}\\\end{aligned}}$

よって

${\begin{aligned}6\cos {\frac {2\pi }{38}}=&x_{1}+{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)}}+{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)}}\\\end{aligned}}$

整理すると

${\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{38}}=&{\frac {1}{6}}\left({\tfrac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-38+(10\omega ^{2}-3){\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+(10\omega +6){\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-38+(10\omega ^{2}+6){\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+(10\omega -3){\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}}\right)\\\end{aligned}}$

正三十八角形の作図

正三十八角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正三十八角形は折紙により作図可能である。

関連項目

• 十九角形