十七角形

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正十七角形

十七角形(じゅうしちかくけい、じゅうななかっけい、heptadecagon)は、多角形の一つで、17本のと17個の頂点を持つ図形である。内角は2700°、対角線の本数は119本である。

性質[編集]

正十七角形においては、中心角外角は約21.18°で、内角は約158.82°となる。 また、一辺の長さがaである正17角形の面積は{17a^2\over4}\cot{\pi\over{17}}\approx22.7354919a^2

作図[編集]

正十七角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形の一つである。p素数である正p角形のうち、このような作図が可能なものは pフェルマー素数である場合に限られる。具体的には p = 3, 5, 17, 257, 65537のときで正三角形正五角形、正十七角形、正二百五十七角形正六万五千五百三十七角形の5つしか知られていない。

作図可能性[編集]

正十七角形がコンパスと定規で作図できることは1796年3月30日の朝に19歳のカール・フリードリヒ・ガウスが目覚めてベッドから起き上がる時に発見した[1][2]。これは任意の三角関数において、その変数としてのが 2π/17 radのとき、関数の値が有理数平方根の組み合わせのみで表現できることを意味する。例えばcosの値は以下のように表わされる[3][4]

\operatorname{cos}{2\pi\over17}=\frac{1}{16} \left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\right)

作図方法[編集]

正17角形の具体的な作図方法はヨハネス・エルチンゲル英語版によって1800年頃に見つけられた[5]。実際の作図方法をアニメーションで示すとこのようになる。全部で64段階。

正十七角形の作図

以下に、作図の手順の意味を説明する (括弧内はアニメーションにおける段階の番号)。O を中心とする円周上に A, B があり、OA と OB は直交するものとする (1-5)。線分 OB 上に点 C を 4OC = OB となるように取る (6-10)。線分 OA 上に点 D を 4∠OCD = ∠OCA となるように取る (11-18)。AO の延長上に点 E を ∠DCE = 45°となるように取る (19-24)。AE を直径とする円と OB との交点を F とする (25-28)。DF を半径とする円と線分 OA との交点を G とする (29)。G を通り、OA に直交する直線と円 O との交点を H とする (30-33)。点 H は 点 A から数えて正十七角形の3番目の頂点であるから、コンパスの幅を AH に取ることによって、全ての頂点を得ることができる (34-47)。頂点を全て結べば正十七角形を得る (48-64)。

やや詳細なイラスト付き作図 Heptadecagon Construction Animation

17角形の作図から等倍の正多角形が作図できる。正34角形:

34-gon Construction Animation

正51角形:

51-gon Construction Animation

正85角形:

85-gon Construction Animation

正255角形:

255-gon Construction Animation

参考文献[編集]

参照[編集]

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外部リンク[編集]