九十角形

九十角形（きゅうじゅうかくけい、きゅうじゅうかっけい、enneacontagon）は、多角形の一つで、90本の辺と90個の頂点を持つ図形である。内角の和は15840°、対角線の本数は3915本である。

正九十角形[編集]

正九十角形においては、中心角と外角は4°で、内角は176°となる。一辺の長さが a の正九十角形の面積 S は

S={\frac {90}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{90}}

$\cos(2\pi /90)$ を平方根と立方根で表すと、

\cos {\frac {2\pi }{90}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos {12^{\circ }}+i\sin {12^{\circ }}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {12^{\circ }}-i\sin {12^{\circ }}}}\right)

={\frac {1}{4}}{\Bigg \{}{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right]+i\left[{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]}}

+{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right]-i\left[{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]}}{\Bigg \}}

正九十角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正九十角形は折紙により作図可能である。

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