超立方体

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4次元超立方体

超立方体(ちょうりっぽうたい、hypercube)とは、2次元正方形3次元立方体4次元正八胞体を各次元に一般化した正多胞体である。なお、0次元超立方体は1次元超立方体は線分である。

正測体(せいそくたい)、γ体(ガンマたい)とも言い、n 次元超立方体を \gamma_n と書く。

正単体正軸体と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。

単に超立方体と言った場合は特に四次元の超立方体(tesseract)を指すこともある。

右図は、四次元超立方体を二次元に投影した図である。立方体を二次元に投影した場合と同様に、各辺の長さや成す角度は歪んでいるが、実際の辺の長さはすべて等しく、角も直角である。胞(立方体)の数は、投影図において外側の大きな立方体、内側の立方体、これら2つの対応する面をそれぞれ結ぶ(対応する稜線を4つ選ぶ)部分に6つあり、胞は計8つである。

作図[編集]

超立方体を作図するには、

(\pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1)

を頂点とし、最も近い(距離2の)頂点同士を辺で結べばよい。複号は全ての組み合わせを取る。

こうして作図された超立方体は、n 次元ユークリッド空間\mathbb R^n で表して

\{x\in\mathbb R^n : \|x\|_\infty \le 1\}

でも定義できる。

性質[編集]

特にことわらない限り、辺の長さが an 次元超立方体について述べる。

超体積は

a^n \,

超表面積は

2n a^{n-1} \,

である。

ファセット (m - 1 次元面) は n - 1 次元超立方体である。したがって一般に、m 次元面は m 次元超立方体である。たとえば、面は正方形、胞は立方体である。

対角線の長さは、

\sqrt{n} a \,

である。

m (0 ≤ mn - 1) 次元面の個数は

2^{n - m} {}_{n}\operatorname{C}_m

である。特に、頂点は 2^n 個、辺は 2^{n-1} n 個、ファセットは 2n 個である。

双対は正軸体である。

任意の l 次元面と m 次元面(lm でもよい)は、接する場合直交し、それ以外は直角ねじれの位置で)か平行である。特に、隣り合うファセットは直交し、それ以外のファセットは平行である。また、頂点には n 本の辺が集まり、互いに直交する。

関連項目[編集]