ポリトープ

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ポリトープ (polytope) は、2次元多角形3次元多面体を一般次元へ一般化した図形。多角形は2次元ポリトープ、多面体は3次元ポリトープである。

多胞体(たほうたい)の訳語があるが、4次元ポリトープ (4-polytope, polychoron) に限って多胞体と呼ぶ語法もある。そのため、ここでは混乱を防ぐため、原則として多胞体と言う言葉は使わずポリトープを使うが、ポリトープでは不自然な一部の複合語では多胞体を使う。

次元ごとの名称[編集]

次元 英語 カタカナ 日本語
任意 polytope ポリトープ (多胞体)
n n-polytope nポリトープ n次元多胞体)
0 point ポイント
1 segment セグメント 線分
2 polygon ポリゴン 多角形
3 polyhedron ポリヘドロン 多面体
4 polychoron ポリコロン 多胞体
5 polyteron ポリテロン
6 polypeton ポリペトン
7 polyexon ポリエクソン
8 polyzetton ポリゼトン
9 polyyotton ポリヨトン

5次元以上の英語名は、ジョージ・オルシェフスキー (George Olshevsky) による提案名であり、必ずしも広く受け入れられているわけではない。それぞれ 10^{3(n-1)} を表すSI接頭辞が元になっている。なお、 10^{3(n-1)} を表すSI接頭辞は n-1 を意味する数詞をもじってつけられている。たとえば、polyteron ← tera ← tetra = 4。そのため、「多面体」の「面」が2次元を意味するように、表す数はポリトープの次元数より一つ少ない。

3次元以上の英語名の語尾 -on は、複数形では -a となる。たとえば、polyhedron(多面体)の複数形はpolyhedra。ただし、polygon(多角形)の複数形はpolygonsである。

要素の名称[編集]

頂点を一般次元へ一般化したものを要素 (element) あるいは面 (face) という。ポリトープ自体も n 次元(余次元 0)の要素「体」であるが、いくつかの性質が特殊で、別扱いすることもある。

特別な名称をもつ中間次元面
次元 英語 日本語 余次元 英語 日本語
0 vertex 頂点 0 body
1 edge 1 facet 刻面
2 face 2 ridge
3 cell 3 peak

一般の m (0 ≤ mn - 1) 次元の要素は、m 次元面(m-face)という。頂点、辺、面はそれぞれ0、1、2次元面である。英語では、3、n - 3 ~ n - 1 次元面にも固有の名称が付いている。名称が重複している場合は、0~3次元面の名前を優先する。たとえば、正多面体の1次元面はピークではなく頂点である。

n - 3 ~ n - 1 次元面の名称には定訳はない。3次元面のセルは胞と訳す。多胞体をポリトープの意味で使う立場では、n - 1 次元面のファセットが胞と解釈できるが、その意味で使うことはあまりない。

なお三次元図形によるイメージ化を行う影響で、n - k 次元面の名称を言うべきところで 3 - k 次元面の名称をいってしまう、たとえば一般次元のポリトープについてピークと言うべきところで頂点と言ってしまうような誤りが、(言語を問わず)見られる。

さまざまなポリトープ[編集]

単体[編集]

n + 1 個の頂点を持つ n 次元ポリトープを単体 (simplex) と呼び、その次元で最も頂点数が少ない。頂点だけでなく、各次元の m 次元面の数も {}_{n+1}{\operatorname C}_{m+1} と一意に決まり、それぞれ最少である。

2次元では三角形、3次元では四面体が単体である。

単体の各要素もまた単体である。たとえば、四面体の面は全て三角形である。

正多胞体[編集]

各ファセット(n − 1 次元面)が合同で、各頂点形状が合同なポリトープを、正多胞体 (regular polytope) と呼ぶ(この語も、4次元のものに限って使うことが少なくない)。正多胞体はシュレーフリ記号で表現できる。

正多胞体の各要素もまた正多胞体である。たとえば、正多面体の面は合同な正多角形である。

正多胞体の種数は次元によって異なるが、2次元以上のどの次元にも存在する3種類の正多胞体があり、標準正多胞体という。それぞれの標準正多胞体は、α(正単体)、γ(超立方体)、β(正軸体)という。

次元 正多胞体 α γ β その他 個数
0 - 1
1 線分 - 1
2 正多角形 正三角形 正方形 正五角形正六角形正七角形・…
3 正多面体 正四面体 立方体 正八面体 正十二面体正二十面体 5
4 (正多胞体) 正五胞体 正八胞体 正十六胞体 正二十四胞体正百二十胞体正六百胞体 6
n ≥ 5 (n + 1) (2n) (2n) 3

空間充填形[編集]

n次元ポリトープによるn次元空間充填形は、n + 1 次元ポリトープとみなすことができる。たとえば、平面充填形(2次元空間充填形)は多面体とみなすことができる。

双対[編集]

n 次元ポリトープに対し、各 m (0 ≤ mn - 1) 次元面を n - m - 1 次元面で置き換える操作で得られるポリトープを、元のポリトープの双対 (dual) という。

多面体の双対を双対多面体という。多角形の双対はそれ自身である。

シュレーフリの定理[編集]

孔や密度のない n 次元ポリトープの m (0 ≤ mn)次元要素の数を e_mとすると、

\sum_{m=0}^{n} (-1)^m e_m = 1

が成り立ち、これをシュレーフリの定理と呼ぶ。

n 次元要素(常に1)を足さず、

\sum_{m=0}^{n-1} (-1)^m e_m = 1 - (-1) ^ n = \begin{cases} 0, \quad n \in 2 \mathbb Z \\ 2, \quad n \in 2 \mathbb Z + 1 \end{cases}

の形で書くこともある(2 \mathbb Z, 2 \mathbb Z + 1偶数奇数)。この式の値をオイラー標数という。

3次元 (n = 3) の場合は、「頂点数 − 辺数 + 面数 = 2」のオイラーの多面体定理となる。