正軸体

2次元正軸体（正方形）

3次元正軸体（正八面体）

4次元正軸体（正十六胞体）の投影図

正軸体（せいじくたい、cross-polytope）は、2次元の正方形、3次元の正八面体、4次元の正十六胞体を各次元に一般化した正多胞体。

なお、定義によっては形式的に0次元正軸体は点、1次元正軸体は線分となるが、正軸体一般の性質の一部が成り立たないため、0次元・1次元に正軸体は存在しないとすることが多い。

$\beta$体（ベータたい）ともいい、n 次元正軸体を $\beta_n$ と書く。

正単体、超立方体（正測体）と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。

作図

正軸体を作図するには、座標 $(\pm1,0,0,\cdots,0)$ の巡回

$(\pm1,0,0,\cdots,0), (0,\pm1,0,\cdots,0), \cdots , (0,0,\cdots,0,\pm1)$

を頂点とし、最も近い（距離 $\sqrt{2}$ の）2点ずつを辺で結ぶ。最も近い3点ずつが面を構成し、m + 1 (0 ≤ m ≤ n - 1) 点ずつが m 次元面を構成する。

なおこの作図は、超立方体

$(\pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1)$

の双対の作図と等価である。

またこうして作図された正軸体は、n 次元ユークリッド空間を $\mathbb R^n$ で表して

$\{x\in\mathbb R^n : \|x\|_1 \le 1\}$

でも定義できる。

性質

特にことわらない限り、辺の長さが a の n (≥ 2) 次元正軸体について述べる。

超体積は

$\frac{ \sqrt{2}^n }{ n! } a^n$

超表面積は

$\frac{ 2^n \sqrt{n} }{ (n-1)! \sqrt{ 2^{n-1} } } a^{n-1}$

である。

ファセット（n - 1 次元面）は n - 1 次元正単体である。したがって一般に、 m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面は m 次元正単体である。また m 次元面の超体積は、正単体の超体積の公式より、

$\frac{ \sqrt{m+1} }{ m! \sqrt{ 2^m } } a^m$

である。

対角線の長さは、作図法からわかるとおり、

$\frac{2}{\sqrt{n}}$

で、全て直交する。

m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面の個数は

$2^{m+1} {}_{n}\operatorname{C}_{m+1}$

である。特に、頂点は $2n$ 個、ファセットは $2^n$ 個である。

双対は超立方体（正測体）である。