正軸体

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2次元正軸体(正方形)
3次元正軸体(正八面体)
4次元正軸体(正十六胞体)の投影図

正軸体(せいじくたい、cross-polytope)は、2次元正方形3次元正八面体4次元正十六胞体を各次元に一般化した正多胞体

なお、定義によっては形式的に0次元正軸体は、1次元正軸体は線分となるが、正軸体一般の性質の一部が成り立たないため、0次元・1次元に正軸体は存在しないとすることが多い。

\beta(ベータたい)ともいい、n 次元正軸体を \beta_n と書く。

正単体超立方体(正測体)と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。

作図[編集]

正軸体を作図するには、座標 (\pm1,0,0,\cdots,0)巡回

(\pm1,0,0,\cdots,0), (0,\pm1,0,\cdots,0), \cdots , (0,0,\cdots,0,\pm1)

頂点とし、最も近い(距離 \sqrt{2} の)2点ずつをで結ぶ。最も近い3点ずつが面を構成し、m + 1 (0 ≤ m ≤ n - 1) 点ずつが m 次元面を構成する。

なおこの作図は、超立方体

(\pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1)

の双対の作図と等価である。

またこうして作図された正軸体は、n 次元ユークリッド空間\mathbb R^n で表して

\{x\in\mathbb R^n : \|x\|_1 \le 1\}

でも定義できる。

性質[編集]

特にことわらない限り、辺の長さが an (≥ 2) 次元正軸体について述べる。

超体積は

 \frac{ \sqrt{2}^n }{ n! } a^n

超表面積は

\frac{ 2^n \sqrt{n} }{ (n-1)! \sqrt{ 2^{n-1} } } a^{n-1}

である。

ファセットn - 1 次元面)は n - 1 次元正単体である。したがって一般に、 m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面は m 次元正単体である。また m 次元面の超体積は、正単体の超体積の公式より、

\frac{ \sqrt{m+1} }{ m! \sqrt{ 2^m } } a^m

である。

対角線の長さは、作図法からわかるとおり、

\frac{2}{\sqrt{n}}

で、全て直交する。

m (0 ≤ mn - 1) 次元面の個数は

2^{m+1} {}_{n}\operatorname{C}_{m+1}

である。特に、頂点は 2n 個、ファセットは 2^n 個である。

双対は超立方体(正測体)である。